% SIMIODETemplate-TeacherORStudent.tex and simiode.cls for LaTeX2e
% Version 29 July 2015.
%
% This class (simiode.cls) is a modification of that used by
% the journal PRIMUS - Problems, Resources, and Issues in
% Mathematics Undergraduate Studies.
%
% See http://www.tandfonline.com/loi/upri .
%
% The class was developed by  Marc Frantz with suggestions of the
% PRIMUS Editorial Board, especially John Thoo.
%
% This template is to be used with the  class file "simiode.cls".
%
% The latest version of this class and template files
% can be found at
%
%       <http://www.SIMIODE.org> in the Author section.
%
% A "Quick Start Guide" appears below.
%
% This file must be processed with version LaTeX2e or higher.
%
\documentclass{simiode-spanish-os}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% With this version of the tex file and the associated SIMIODE.cls file you can produce BOTH a Student Version and a Teacher Version of your modeling scenario or technique narrative.
%
% Basically the Student Version contains the title STUDENT VERSION along with the NAME OF SCENARIO, with no abstract, no keywords, no tags, no author identifiers, and no COMMENTS section. The Student Version contains only the STATEMENT of the modeling scenario with appropriate figures, data, instructions, and perhaps a bibliography appropriate for student resourcing, but nothing in the bibliography which would "give away" the nature of the modeling scenario, etc.
%
%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
%
% Authors can prepare a full Teacher Version using the notions immediately below  to create a pdf for review (but in review please eliminate all information about the author as we use a double-blind referee system. Such information will be restored when accepted and published in SIMIODE at www.simiode.org.
%
%***********   Toggle the following line to turn the teacher version on (1) or off (0). ***********
%
%
\def\TeacherEdition{0} % Toggle this line's value.
\newcommand{\teacher}[1]{\ifnum\TeacherEdition=1 #1 \fi}
%
%
% The \teacher{ } command wraps any text that will appear only in the teacher version of
% the document. See this file for examples. This has been done for you in the document below.
% Rename the pdf after you compile each final version.
% This option was created  by Eric Sullivan, Carroll College, Helena MT.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

%%REQUIRED PACKAGES FOR SPANISH TRANSLATION
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish,es-tabla]{babel}

%%RENEWING COMMAND TO PRINT TRANSLATION CREDITS INSIDE \author COMMAND
\renewcommand{\and}{\\}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NOTE regarding double spacing %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Manuscripts should be submitted doubled spaced.  This is
% accomplished via the \baselinestretch command below.
% However, you may obtain an idea of how your article will
% look in final form, so that you can better plan your
% presentation.  To see your manuscript formatted very
% similarly to the on-line published format of  SIMIODE,
% comment the following line out by inserting a percent sign % (%) at its beginning.

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NOTE regarding macros %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Any macros defined for your paper should be contained in
% the top matter. Likewise, any environment definitions such
% as \newtheorem or \newenvironment should also go in the
% top matter.
%
% Do not \input your macros as separate files within your
% final version because more files make it harder for the
% editors and users to keep track of and/or modify and
% append your paper.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Top matter is above and
% the beginning of the document below.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\newpage


	\title{\ifnum\TeacherEdition=1 VERSIÓN DEL PROFESOR  \else VERSIÓN DEL ESTUDIANTE \fi\\	EXPANSIÓN DE UNA MANCHA DE PETRÓLEO}

\teacher{
\keywords{derrame de petróleo, datos, incompleta, solución de problemas, expansión}

\tagwords{modelo, ajuste, línea, suposiciones, ecuación en diferencias, ecuación diferencial, lineal, primer orden, no homogénea}
}
\markboth{Expansión de una Mancha de Petróleo}{Expansión de una Mancha de Petróleo}






\author{Brian Winkel\\
Director de SIMIODE\\
Cornwall NY \teacher{12518} USA\\
 \teacher{BrianWinkel@simiode.org}\\
 \and
 Traducido por Migdonio González\\
 Universidad Tecnológica de Panamá\\
 Ciudad de Panamá, Panamá
}


\makeStitleLaTex 

\teacher{
\begin{abstract}
Describimos una actividad de modelado para estudiantes en la que es apropiado modelar con ecuaciones en diferencias y diferenciales. Hemos utilizado este modelo en nuestros cursos durante años y hemos descubierto que esclarece a los estudiantes sobre el proceso de construcción del modelo y la estimación de parámetros para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal, no homogénea. La actividad también proporciona una lección sobre "saber qué hacer cuando no sabes qué hacer". \cite{Polya1945}  
\end{abstract}

\vspace*{-.1 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-.9 true cm}
\listtags
}

\section*{ENUNCIADO}

Un derrame de petróleo se extiende en el mar. De vez en cuando, pero de manera irregular, se envía un helicóptero para fotografiar el derrame de petróleo. En cada viaje, el helicóptero llega al derrame, el piloto toma una foto, espera $10$ minutos, toma otra y se dirige a casa. En cada uno de siete viajes, el tamaño (en área) del derrame se mide a partir de ambas fotografías. 


\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tamaño del Derrame (millas cuadradas)}\\ \hline \hline
Observación Inicial & 10 min.~más tarde \\ \hline
1.047 & 1.139 \\ \hline
2.005 & 2.087 \\ \hline
3.348 & 3.413 \\ \hline
5.719 & 5.765 \\ \hline
  7.273 & 7.304 \\ \hline
  8.410 & 8.426 \\ \hline
  9.117 & 9.127\\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{table:initialdata}  Datos sobre la expansión de una mancha de petróleo.}}
\end{center}

\end{table}
\vspace*{-.75 true cm} \

\begin{itemize}
\item [(a)]  Construye un modelo para el tamaño del derrame de petróleo en el instante $t$. 
\vspace*{-.15 true cm} \item [(b)] Predice el tamaño futuro del derrame de petróleo, digamos en $t = 10$ min, $t = 20$ min, $t = 120$ min.  
\vspace*{-.15 true cm} \item [(c)] Grafica tu modelo del tamaño del derrame de petróleo como una función del tiempo.
\vspace*{-.15 true cm} \item [(d)] Encuentra el momento en que el derrame de petróleo es de $8$ millas cuadradas.
\vspace*{-.15 true cm} \item [(e)] Determina el tiempo de cada una de las observaciones para la primera, tercera, quinta, y séptima observación inicial.
\end{itemize}

\teacher{

\section*{COMENTARIOS}

Adjuntamos la esencia de un artículo completo \cite{Winkel2010} sobre el uso de este problema durante muchos años en nuestra enseñanza. En este artículo describimos cómo presentamos este escenario de modelado a los estudiantes y ofrecemos varias estrategias desarrolladas por los estudiantes para construir un modelo y abordar los problemas propuestos en el planteamiento. Comparamos las diversas estrategias de solución. 

\section*{Introducción\label{intro}}
Compartimos uno de nuestros problemas favoritos, un problema rico en experiencias de aprendizaje y estrategias de solución. Creemos que este problema captura la esencia de lo que somos y podemos ser como maestros de matemáticas y al mismo tiempo ilustra muchos aspectos técnicos, profesionales y, a veces, emocionales de nuestras vidas juntos como estudiantes y profesores. 

El problema (sin solución) apareció originalmente en un artículo de 1975 \cite{Taylor1975} en una hermosa revista de folletos, {\it Applied Mathematics Notes de Math\'ematiques Appliqu\'ees\/}. La revista fue una publicación de corta duración del Congreso de Matemáticas de Canadá y estaba destinada a fomentar la enseñanza de las matemáticas aplicadas en los estudios de pregrado. En los más de 35 años desde que leí este problema por primera vez, lo he usado en muchos cursos. Nunca deja de cautivar y desafiar a los estudiantes y siempre hace que se muevan más allá de donde están, que crezcan y, para citar a George Polya, para que sepan "qué hacer cuando no saben qué hacer". \cite{Polya1945}

Le pedimos al lector que considere este problema, que haga garabatos con él, que lo intente seriamente y que se sienta un tanto frustrado --- así se disfruta mejor el viaje. Para aprovechar al máximo este artículo, debes tomar al menos 15 minutos para hacerlo ahora, antes de leer las estrategias para atacar el problema. 

\begin{quote}
Una mancha de petróleo se extiende en el mar. De vez en cuando, pero de manera irregular, se envía un helicóptero para fotografiar el derrame de petróleo. En cada viaje, el helicóptero llega al derrame, el piloto toma una foto, espera $10$ minutos, toma otra y se dirige a casa. En cada uno de los siete viajes, el tamaño (en área) del derrame se mide a partir de ambas fotografías. Construye un modelo para el crecimiento de la mancha de petróleo.\cite[pp.~73-74]{Taylor1975}


\begin{table}\label{table:initialdata}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tamaño del Derrame (millas cuadradas)}\\ \hline \hline
Observación Inicial & 10 min.~más tarde \\ \hline
1.047 & 1.139 \\ \hline
2.005 & 2.087 \\ \hline
3.348 & 3.413 \\ \hline
5.719 & 5.765 \\ \hline
  7.273 & 7.304 \\ \hline
  8.410 & 8.426 \\ \hline
  9.117 & 9.127\\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{table:initialdata}  Datos sobre la expansión de la mancha de petróleo. \cite[p.~74]{Taylor1975}}}
\end{center}
 \vspace*{-.4 true cm}

\end{table}
 
\end{quote}


En una reencarnación más reciente, la redacción que acompaña a los datos en la Tabla~\ref{table:initialdata} fue algo como esto:

\begin{quote}
Una mancha de petróleo de petróleo se extiende en el mar. De vez en cuando, pero de manera irregular, se envía un helicóptero para fotografiar el derrame de petróleo. En cada viaje, el helicóptero llega al derrame, el piloto toma una foto, espera $10$ minutos, toma otra y se dirige a casa. En cada uno de los siete viajes, el tamaño (en área) del derrame se mide a partir de ambas fotografías. Consulta la Tabla~\ref{table:initialdata} para ver los datos.

\begin{itemize}
\item [(a)]  Construye un modelo para el tamaño del derrame de petróleo en el instante $t$. 
\vspace*{-.15 true cm} \item [(b)] Predice el tamaño futuro del derrame de petróleo, digamos en $t = 10$ min, $t = 20$ min, $t = 120$ min.  
\vspace*{-.15 true cm} \item [(c)] Grafica tu modelo del tamaño del derrame de petróleo como una función del tiempo.
\vspace*{-.15 true cm} \item [(d)] Encuentra el momento en que el derrame de petróleo es de $8$ millas cuadradas.
\vspace*{-.15 true cm} \item [(e)] Determina el tiempo de cada una de las observaciones para la primera, tercera, quinta, y séptima observaciones iniciales.
\end{itemize}
\end{quote}

Como puedes ver, agregué algunas preguntas {\it después\/} que los estudiantes obtuvieron un modelo para mostrarles que pueden usar el modelo para hacer algunas cosas valiosas, como decir la hora en que estas observaciones realmente tuvieron lugar. Soy un poco más instructivo y específico en mis preguntas. Esto les da a los estudiantes peldaños sobre los cuales colocar sus pies mientras suben esta escalera de un problema hacía el éxito. 



\section*{La Frustración de Modelar\label{section:Frustration}}

Mi intención es ofrecer la actividad como un problema desafiante (veremos por qué, si aún no lo has descubierto por nuestra advertencia de intentarlo) para abrir los ojos de los estudiantes a diferenciar datos para construir un modelo en diferencias o de ecuación diferencial. Sin embargo, el problema se puede presentar a los estudiantes que ni siquiera han dado cálculo, pero que conocen y entienden el concepto de pendiente en términos de tasa de cambio, por ejemplo, del tamaño del derrame en millas cuadradas por intervalo de diez minutos. 

Desde que utilicé el problema por primera vez en un curso de ecuaciones diferenciales y presioné a los estudiantes con la tanda habitual de sugerencias durante la clase, siempre espero (y siempre recibo) soluciones que implican la construcción de una ecuación diferencial, estimaciones de los parámetros en la ecuación, la solución de dicha ecuación diferencial, y su uso en la determinación de los tiempos de eventos. Generalmente asigno este problema durante un período de una semana mientras hago otros problemas en un primer curso en ecuaciones diferenciales. 

Un año tuve un muy buen estudiante que pensó fuera de la caja. Mientras leía las soluciones presentadas, llegué a la suya. Ni siquiera tenía una ecuación diferencial. Estaba mal escrito, no explicaba los pasos, e hizo afirmaciones absurdas como ``Mira, ni siquiera necesité una ecuación diferencial para resolverlo". ¿Qué estaba haciendo? Tuve que investigar y tuve que hacerlo rápidamente, porque generalmente devolvía los documentos en la próxima sesión, durante la cual discutimos los temas más amplios y las técnicas utilizadas. Llegaremos a este enfoque diferente al que había previsto en secciones posteriores de este escenario. 

Los estudiantes que trabajan en este problema SIEMPRE se encuentran con un poco de frustración. Las discusiones que presentamos generalmente tienen lugar antes de que los estudiantes traigan el problema a casa para seguir trabajando. La discusión también tiene lugar como un informe posterior a la acción o una corrección a la mitad de camino para algunos, en el que procesamos lo que nos está sucediendo a cada uno de nosotros mientras luchamos contra el problema.  

Considera el problema nuevamente. Este involucra datos de observaciones. ¿Qué le decimos siempre a los estudiantes que hagan cuando se les presentan datos? Grafica los datos para obtener una imagen para que puedas tener una idea de lo que tienes delante. Este comentario, ``Grafica", causa la frustración principal, porque nosotros {\it podemos\/} graficar en $t = 0$ el tamaño $s(0) = 1.047$ y luego podemos trazar el tamaño $10$ minutos luego como $s(10) = 1.139$, donde $s(t)$ es el tamaño del derrame de petróleo en millas cuadradas $t$ minutos después de la primera observación. Aquí viene la frustración. ¿Qué tramamos a continuación? No sabemos cuándo se realizó la siguiente observación, por lo que no tenemos un tiempo independiente al que podamos asociar el tamaño $2.005$. Algunos estudiantes se apresuran a señalar: ``Sí, pero si pudiéramos obtener ese tiempo, digamos $t_1$, entonces sabría $s(t_1+10) = 2.087$". Otros interrumpen (alegan) que: ``Pero no sabemos $t_1$."

Ahora comienza una serie de suposiciones falsas y racionalizaciones. Una estudiante sugiere: ``Supongamos que los intervalos de tiempo entre la segunda observación y la siguiente primera observación son siempre los mismos para cada par de observaciones". Sus compañeros de clase le reprochan, a lo que ella dice: ``Bueno, si no conocemos ese intervalo de tiempo, ¿cómo vamos a trazar el siguiente punto después de $s(10) = 1.139$?" Se producen discusiones sobre qué supuestos realmente significan algo en un problema de modelado y suponiendo algo sobre los tiempos entre cada uno de los intervalos de las observaciones de diez minutos simplemente no van bien con todos los estudiantes. Por lo tanto, abandonamos esta estrategia. Ahora, nos enfrentamos a una frustración aún mayor: ``¿Hacia dónde vamos?" ¿Adivina quién habla? ¡Adivinaste! George Polya, ``saber qué hacer cuando no sabes qué hacer". 

\subsection*{Podríamos estar en algo aquí}

Por lo general, alguien dice (y en MUY raras ocasiones es el profesor, ya que eventualmente los estudiantes descubren esta idea): ``Bueno, sabemos qué tan rápido está cambiando el tamaño del derrame de petróleo en varios intervalos. Tal vez podríamos calcularlos". Muy a menudo presentamos este ejercicio en una hoja de cálculo de Excel. Esto ofrece un estímulo visual y genera respuestas debido a la forma en que las hojas de cálculo presentan los datos. Nuestros datos de hoja de cálculo pueden parecerse a la Tabla~\ref{table:initialdata}.
  
\begin{table}\label{table:bunchdata}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tamaño del Derrame (millas cuadradas)}& Cambio en el Tamaño del Derrame \\ \hline \hline
Observación Inicial & 10 min. luego & cambio de 10 minutos\\ \hline
1.047 & 1.139 & 0.0092\\ \hline
2.005 & 2.087 & 0.0082\\ \hline
3.348 & 3.413 & 0.0065\\ \hline
5.719 & 5.765 & 0.0046\\ \hline
  7.273 & 7.304 & 0.0031\\ \hline
  8.410 & 8.426 & 0.016\\ \hline
  9.117 & 9.127 & 0.0010\\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{table:bunchdata} Datos sobre la expansión de una mancha de petróleo en  \cite[p.~74]{Taylor1975} con cambio calculado en tamaño del derrame de petróleo en preparación para construir un modelo de ecuación en diferencias/diferencial.}}





\end{center}
 \vspace*{-.6 true cm}

\end{table}

Esto es lo que sucederá después. Siempre sucede, nunca deja de suceder. Alguien dirá: ``Sí, pero de qué sirvió eso si todavía no podemos graficar el cambio versus el tiempo". Silencio. Esta parte es donde viene la prisa por el profesor. Algunas voces pequeñas sugieren (y no siempre es el buen estudiante, pero a menudo es el muy tímido en la parte de atrás quien dice en una oración interrogativa, no declarativa) ``¿Podríamos trazar el cambio versus el tamaño?'' Como profesor, sabes que están en algo. Han dado un gran paso hacia la creación de esta ecuación diferencial que esperabas que construyeran. La paciencia sigue siendo el orden del día. ``¿De qué serviría eso?", dice el estudiante crítico (y tal vez todavía frustrado). ``Todavía no sabemos a qué hora tuvieron lugar estos cambios." Si es necesario, el profesor puede decir algo como: ``Bueno, podríamos graficar el cambio versus el tamaño y ver que obtenemos. Eso al menos es posible". Recuerda, estamos en una hoja de cálculo con columnas de datos. Los estudiantes se ven obligados a trazar una columna versus la otra. ¿Por qué? Bueno, porque como dijo George Mallory sobre el Monte Everest: ``Porque está allí."\cite{Archer2009} Entonces grafican y obtienen la Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickDifferenceVsSizePlot}.

``¡Guau!'' Es es la respuesta habitual. Hacemos una pausa para reflexionar, hacemos mucho de eso en mis cursos. ``¿Qué acaba de pasar?" les pregunto. A menudo dicen que simplemente ``intentamos algo". Sin embargo, intentaron algo especial. Tomaron diferencias y, por lo tanto, dieron un paso hacia la construcción de una ecuación diferencial/en diferencias. Para la mayoría, cuando ven ese tipo de datos, ajustan una línea a través de ella utilizando la capacidad de Línea de Tendencia de Excel. En la Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickDifferenceVsSizePlot} ofrecemos un gráfico de {\it Mathematica\/}. A veces hacemos nuestro modelado en {\it Mathematica\/}, aunque {\it Mathematica\/} no presenta las columnas yuxtapuestas y, por lo tanto, no ofrece sugerencia visual de formar diferencias y graficar como ocurren en Excel.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{1-5-OilSlickDifferenceVsSizePlot.eps}

%\vspace*{-1.7 true cm}

\parbox{12 true cm}{\caption{\label{fig:1-5-OilSlickDifferenceVsSizePlot} La primera gráfica posterior a la frustración que los estudiantes presentan cuando dejan de graficar algo contra el tiempo y tratan de graficar el cambio de tamaño vs. tamaño.}}

\end{figure}


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{1-5-OilSlickLineOverDifferenceVsSizePlot.eps}

%\vspace*{-1.7 true cm}

\parbox{10.6 true cm}{\caption{\label{fig:1-5-OilSlickLineOverDifferenceVsSizePlot} La gráfica de la tasa de cambio del tamaño del derrame de petróleo vs. el tamaño del derrame de petróleo}}

\end{figure}

La Línea de Tendencia de Excel dará la ecuación de esta línea o se podrían aplicar los comandos  {\tt Fit}, {\tt Fit[data,\{1,x\},x]} de {\it Mathematica\/} (o comando de regresión de otro software) al conjunto de pares de datos (cambio en el derrame de petróleo, tamaño del derrame de petróleo). La ecuación lineal resultante,
\vspace*{-.3 true cm}

\begin{equation}
y = -0.00100087 x + 0.0101644\,  ,
\end{equation}

\noindent es la ecuación de mejor ajuste y la forma en que escribimos una función lineal. Sin embargo, $x$ y $y$ no son las variables aquí. ¿Cuáles son las variables? Son $x = s(t)$ y $y = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, donde $s(t)$ es el tamaño del derrame de petróleo en el momento $t$ y $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ es la tasa promedio de cambio del derrame de petróleo en un intervalo de tamaño $\Delta t$ en el momento $t$. Por lo tanto, hemos construido la siguiente relación entre cambio de tamaño y tamaño:

\begin{equation}
\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} = -0.00100087\cdots(t) + 0.0101644\,   , 
\end{equation}
donde $\Delta t = 10$. Ver la Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickLineOverDifferenceVsSizePlot}.




\subsection*{Tenemos un modelo de ecuación diferencial}

Podríamos pasar a un enfoque de ecuación en diferencias o podríamos usar esta tasa de cambio promedio para dar otra aproximación: la tasa de cambio instantánea o la derivada:
\begin{eqnarray}
\frac{ds(t)}{dt} = -0.00100087\cdot s(t) + 0.0101644\,   \label{eq:OilSlickDE}
\end{eqnarray}
donde reconocemos que el $=$ podría ser reemplazado con la misma facilidad y más correctamente por $\sim$, una aproximación cercana, sin embargo. 

Por supuesto, los estudiantes señalan rápidamente que si vamos a resolver esta ecuación diferencial necesitaremos la condición inicial que se encuentra en nuestros datos, $s(0) = 1.047$. Ahora están un paso por delante de sí mismos, ya que están por debajo de las frustraciones anteriores y en una buena racha con respecto a nuestro estudio de ecuaciones diferenciales. Se ha alcanzado una zona de confort ya que ahora tenemos una ecuación diferencial con la condición inicial y nuestra reacción natural es resolverla. Podemos hacer separación de variables, podemos usar un factor de integración o, como lo hago en mi enseñanza, podemos usar {\tt DSolve} en {\it Mathematica\/}. De hecho, si usamos esta actividad de modelado antes de discutir una ecuación diferencial o cualquier estrategia de solución, tenemos una razón, una motivación, para estudiar realmente las ecuaciones diferenciales: ¡modelar las primeras ecuaciones diferenciales! 

Antes de resolver, les pregunto: ``¿Qué haremos con nuestra solución una vez que la obtengamos?" Silencio, pero no por mucho tiempo, como siempre alguien dice: ``Graficaremos la solución y ese será nuestro modelo". Me pregunto en voz alta cómo verificaremos la bondad del modelo, a lo que dicen que verán cómo se ajusta a los datos: la frustración está en orden, ya que no tenemos una gráfica de los datos. Silencio. Otra (a menudo) pequeña voz dice: ``Podríamos averiguar cuáles son los valores de $t$ para cada punto de datos configurando nuestra solución $s(t)$ igual a $2.005$, luego $3.348$, luego $5.719$, etc. y resolviendo $t$. Alguien más interviene:``Sí. Entonces podríamos encontrar cuál es el tamaño del derrame del petróleo $10$ minutos después de que sea $2.005$.'' Otro agrega: ``Y mejor que sea aproximadamente $2.087$.'' Entonces se van a la batalla y a completar su redacción de este problema con la confianza de que aprendieron a construir un modelo y, lo más importante, que entendieron el significado de ``saber qué hacer cuando no se sabe qué hacer".\cite{Polya1945} Siempre doy esto como una tarea de redacción individual, pero aliento la discusión dentro y fuera de la clase. Les pido que den crédito a las personas cuyas ideas usan. 

\begin{table}\label{table:finaldata}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Tamaño del Derrame (millas cuadradas)}& \multicolumn{2}{|c|}{Tiempos para Tamaños (min)}\\ \hline \hline
Observación Inicial & 10 min. después &Tiempo Inicial&Tiempo Final\\ \hline
1.047 & 1.139 &0&10\\ \hline
2.005 & 2.087 &111.031&121.031\\ \hline
3.348 & 3.413 &290.926&300.926\\ \hline
5.719 & 5.765 &718.704&728.704\\ \hline
  7.273 & 7.304 &1149.52&1159.52\\ \hline
  8.410 & 8.426 &1650.68&1660.68\\ \hline
  9.117 & 9.127 &2169.45&2179.45\\ \hline
\end{tabular}


\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{table:finaldata} Datos sobre la expansión de una mancha de petróleo en  \cite[p.~74]{Taylor1975} con los tiempos de modelado predichos por nuestro modelo de ecuación diferencial. Las comparaciones son bastante buenas.}}
\end{center}
\vspace*{-.7 true cm}
\end{table}







\subsection*{Ahora pongamos nuestra solución a trabajar para nosotros}

Mostramos los resultados de los estudiantes y cómo hay una tremenda sensación de satisfacción al encajarlo todo. Determinan la solución a la ecuación diferencial~(\ref{eq:OilSlickDE}):\vspace*{-.3 true cm}

\begin{eqnarray}
s(t) = 10.1556 -9.10862 e^{-0.00100087 t} \, .  \label{eq:OilSlickDESol}
\end{eqnarray}

Usamos esto para determinar el tiempo de cada observación (ver Tabla~\ref{table:finaldata}), para graficar (ver Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickDESolutionOverData}) los datos recién cronometrados sobre la solución modelo, y simplemente para sentarnos y decir: ``¡Somos buenos!'' El profesor en mí solicita alguna reflexión sobre nuestro proceso y los estudiantes reviven la frustración, el momento de ``¿Por qué no formar diferencias con los datos?", la pregunta ``¿Qué podemos graficar contra qué?", la reacción ``¡Guau!'' al ver la gráfica y la reacción ``Oye, puedo resolver esta ED". Está todo ahí. Modelado, análisis, ir más allá de lo que somos, el ``saber qué hacer cuando no sabes qué hacer".\cite{Polya1945} Nos referimos continuamente a la cita de Polya cuando nos enfrentamos a tiempos difíciles y los convertimos en oportunidades en lugar de frustraciones. No hemos escalado por completo el Monte Everest (pero tampoco Mallory, ¿o sí? Ver\cite{Archer2009}) pero hemos conquistado nuestra propia inercia interna cuando nos enfrentamos a un momento difícil en nuestro proceso de modelado. Es una buena sensación. Los estudiantes y yo lo saboreamos. Ellos lo recuerdan. Tengo fuerte evidencia de esto último ya que este problema surge en las discusiones con los estudiantes años después cuando visitan o nos podemos a recordar. 

\begin{figure}[h]

\centering
\includegraphics[width=10cm]{1-5-OilSlickDESolutionOverData.eps}

%\vspace*{-1.7 true cm}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{fig:1-5-OilSlickDESolutionOverData} Una gráfica final y convincente del modelo de ecuación diferencial obtenida de diferenciar nuestros datos vs. a los datos en sí mismos, que muestra los tiempos específicos en los que se proporcionó inicialmente el tamaño del derrame de petróleo en cada intervalo de observación y $10$ minutos más tarde en cada caso. Dos puntos para cada conjunto de observaciones no son realmente notables ya que la separación de 10 minutos se pierde durante el intervalo de tiempo, $[0,2500]$ minutos.}}
\vspace*{-.4 true cm}
\end{figure}
Establecemos nuestros $s(t)$ de (\ref{eq:OilSlickDESol}) iguales a los valores para el tamaño del derrame de petróleo en nuestros datos originales para encontrar los tiempos en que el derrame de petróleo asumió estos valores. Resumimos esta información en la Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickDESolutionOverData}.







\section*{Algo ligeramente diferente}


Esta estrategia surgió hace años cuando estaba enseñando en una escuela de ingeniería (Rose-Hulman Institute of Technology) después de enseñar y usar este problema en una universidad de artes liberales (Albion College) durante $10$ años, ambos lugares con buenos estudiantes. Este enfoque es una ligera variación, sin embargo, una variación genuina, de nuestra primera solución de modelado ofrecida anteriormente. En esta solución, el trabajo conduce a una ecuación diferencial cuya solución, nuevamente, dará el tamaño del derrame en función del tiempo. 

En clase, mientras trabajaba en este problema en grupos pequeños, un estudiante simplemente dijo: ``¿Por qué no graficar el inicio versus el final durante cada período de observación y ver qué obtenemos?'' Esto es un resultado directo de la frustración anterior, es decir de no tener nada que graficar versus el tiempo. Así que graficamos el tamaño del derrame de petróleo después de $10$ minutos versus el tamaño original de ESE intervalo y mostramos este gráfico en la Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickLineInitialVsLater}. 


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{1-5-OilSlickLineInitialVsLater.eps}

%\vspace*{-1.7 true cm}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{fig:1-5-OilSlickLineInitialVsLater} Presentamos una gráfica de la observación al final de los $10$ minutos vs. la observación inicial para cada uno de los períodos de observación.}}

\end{figure}


La gráfica se ve bien y deberíamos poder hacer algo con ella. A partir de ella construimos una ecuación en diferencias agradable. \vspace*{-.3 true cm}
\begin{eqnarray}
s(t+10) = 0.989991*\cdot s(t) + 0.101644 \label{eq:differenceEquation}
\end{eqnarray}
después de ajustar una línea a los datos.

Si restamos  $s(t)$ de ambos lados, podemos convertir (\ref{eq:differenceEquation}) en una ecuación diferencial en  $s(t)$, el tamaño del derrame de petróleo en el tiempo $t$. Luego al aproximar $\frac{s(t+10) - s(t)}{10}$ con $\frac{ds(t)}{dt}$ estamos en la misma posición que en el enfoque anterior y obtenemos casi los mismos resultados que antes.

A propósito, {\it Mathematica\/} tiene un comando muy bueno para resolver ecuaciones en diferencias:
\vspace*{.15 true cm}

{\tt RSolve[\{s[n + 1] == 0.101644 + 0.989991 s[n], s[0] == 1.047\}, s[n], 
   n]}

\vspace*{.15 true cm}

\noindent donde $n+1$ se refiere al intervalo de 10 minutos de la generación $(n+1)$ y $s(n)$ es el tamaño del derrame de petróleo en millas cuadradas en el intervalo de 10 minutos de la generación $n$. {\tt RSolve} nos da la solución de la forma:
 \vspace*{-.1 true cm}
\begin{eqnarray}
s(n) = 10.1553\cdot 0.989991^n\cdot 2.71828^{0.0100594
   n}-9.10826\cdot 0.989991^n
\end{eqnarray}
 \vspace*{-.5 true cm}

Si establecemos $s(n) = 8.410$, el tamaño del derrame al comienzo del sexto intervalo, podemos usar el comando de caballo de batalla de {\it Mathematica\/}, {\tt FindRoot},  para ver que $n = 164.252$. Esto significa que en el momento $164.252\times 10 = 1642.52$ minutos después de nuestra primera observación (tenemos $164.252$ de estas unidades de intervalos de 10 minutos) se observó que el tamaño de del derrame era $8.410$ millas cuadradas de acuerdo con nuestro nuevo modelo de ecuación en diferencias. Esto está bastante cerca del valor $1650.68$ encontrado en la celda correspondiente de la Tabla~\ref{table:finaldata} donde usamos un modelo de ecuación diferencial. Señalamos a los estudiantes que las ecuaciones en diferencias y diferenciales son aproximaciones entre sí y, en este caso, la ecuación en diferencias, que en realidad es una forma del método de Euler para resolver la ecuación diferencial, presenta valores que son menores (¡pero no mucho!) que los ofrecidos por la ecuación diferencial.  \vspace*{-.3 true cm}




\section*{Y ahora algo completamente diferente\cite{MontyPython1971}}

Volvamos a la frustración de no tener puntos para graficar más allá de las dos primeras observaciones, es decir, $(0,s(0))$ y $(10,s(10))$. Simplemente no conocemos un valor de $t$ para cuando el derrame de petróleo es de $2.005$ millas cuadradas, lo que ocurre al comienzo del segundo de observaciones. ¿Cómo podríamos saber cuándo ocurre eso? Esa es una pregunta que algunos estudiantes hicieron varios años atrás. Después de luchar con la situación, un estudiante notó que si conocemos la tasa a la cual el tamaño del derrame de petróleo aumenta en el primer intervalo, es decir, $\frac{s(10) - s(0)}{10}$, esta tasa es una buena estimación de la pendiente de la curva que buscamos eventualmente, es decir, la pendiente de la función misteriosa, $s(t)$.

Aquí viene de nuevo. Los estudiantes te impresionan. Te muestran que realmente entienden el significado de un concepto como pendiente en su uso para resolver problemas. ¡Te sientes bien con nuestro sistema! Entonces, una estudiante se dice a sí misma mientras trabaja en este problema en una grieta en la biblioteca antigua: ``Si solo empiezo en el punto $(10,s(10))$ y salgo en una dirección de la pendiente $\frac{s(10) - s(0)}{10}$ Eventualmente alcanzaré un valor de $s$ de $2.005$ y puedo resolver para determinar CUANDO llego a este valor de $s$, es decir, qué valor de $t$ dará lugar a este valor $s(t)$ recién obtenido de $2.005$? Puedo usar mi tecnología para hacer esto". Vamos con el enfoque de este estudiante. 

Primero tenemos que averiguar el instante en que ocurrió la observación inicial de la segunda pasada, es decir, $s=2.005$. Calculamos la pendiente o tasa de cambio en el derrame de petróleo durante el primer intervalo de tiempo de observación $[0, 10]$,

$$\frac{s(10) - s(0)}{10} = \frac{1.139-1.047}{10} = 0.0092\, .$$
 
Ahora, comenzando en nuestra última observación, $s(10)$ y yendo en la dirección de la pendiente $0.0092$, ¿cuándo llegaremos a un valor de $s$ de $2.005$? Forma la ecuación de la línea a través de $s(10) = 1.047$ con pendiente $0.0092$ y encuentra cuando alcanza un valor de $2.005$. En {\it Mathematica\/} ella lo hace con bastante facilidad con el método estándar de punto y pendiente para la ecuación de la línea \vspace*{-.4 true cm}

\begin{eqnarray}
{\tt Solve[(s - 1.139)/(t - 10) == (1.139 - 1.047)/10, s] // Simplify} \label{eq:line}
\end{eqnarray}
\noindent para obtener $s = 1.047 t + 0.955$. Estableciendo $s = 2.005$ produce un valor de $t$ de $104.13$ minutos. ``Entonces es el momento en que hacemos nuestra segunda observación inicial. Simplemente increíble", se dice a sí misma. ``¡Esto funciona!".

Resolviendo $s = 1.047 t + 0.955$ para todos los tamaños de derrame de petróleo produce valores de $t$ para cada tamaño del derrame de petróleo correspondiente en este enfoque de ``algo diferente". Sin embargo, uno encontrará que parece que hemos calculado nuestros intervalos de tiempo entre observaciones incorrectamente. En particular, hemos usado una tasa de crecimiento más grande de la que necesitamos en todo el intervalo entre observaciones. Necesitamos estimar la tasa de crecimiento en el intervalo entre los intervalos de observación y así tomamos el promedio de las tasas de crecimiento de intervalos consecutivos (que rodean el intervalo de tiempo deseado entre pares de observaciones) para determinar el tiempo que tarde entre intervalos de observación, es decir \vspace*{-.4 true cm}

\large

\begin{eqnarray}
\frac{\frac{(s(t_i+10) - s(t_i))}{10} + \frac{(s(t_{i-1}+10) - s(t_{i-1}))}{10}}{2}\, , \label{eq:slope}
\end{eqnarray}
\normalsize

\noindent  donde $t_i$ es el tiempo de la observación inicial de la generación $i$. Para cada intervalo de tiempo largo entre cada período de 10 minutos de intervalos de observación, usamos la pendiente calculada en (\ref{eq:slope}) en la información de pendiente del lado derecho que se encuentra en (\ref{eq:line}). Por supuesto, también reemplazamos el $1.139$ en el lado izquierdo de (\ref{eq:line}) con el tamaño apropiado de $10$ minutos más tarde del derrame de petróleo en cada intervalo de observación.

Presentamos las respuestas en una extensión de la Tabla~\ref{table:finaldata} en la Tabla~\ref{table:comparisondata}. Observamos cuán cercanos están estos números de nuestro enfoque de ``algo diferente'' al método anterior que usa el modelo de ecuación diferencial. Por supuesto, nuestros tiempos entre intervalos también son ligeramente diferentes. 

\begin{table}[h]\label{table:comparisondata}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|} \hline 
\multicolumn{4}{|c|}{Enfoque del Modelo de Ecuación Diferencial} & \multicolumn{2}{|c|}{Enfoque Algo Diferente} \\ \hline \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tamaño del Derrame (millas cuadradas)}& \multicolumn{2}{|c|}{Tiempo para Tamaños (min)}& \multicolumn{2}{|c|}{Tiempo para Tamaños (min)}\\ \hline \hline
Observación Inicial & 10 min. después &Tiempo Inicial&Tiempo Final&\,\,\, Tiempo Inicial\,\, &Tamaño de Derrame \\ \hline
1.047 & 1.139 &0&10&0&1.047\\ \hline
2.005 & 2.087 &111.031&121.031& 109.54&2.005\\ \hline
3.348 & 3.413 &290.926&300.926&291.10&3.348\\ \hline
5.719 & 5.765 &718.704&728.704&716.60&5.719\\ \hline
  7.273 & 7.304 &1149.52&1159.52&1118.29&7.273\\ \hline
  8.410 & 8.426 &1650.68&1660.68&1598.93&8.410\\ \hline
  9.117 & 9.127 &2169.45&2179.45&2140.47&9.117\\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{table:comparisondata} Los datos de expansión dados en \cite[p.~74]{Taylor1975} con los tiempos pronosticados por el modelo desde nuestra pendiente y enfoque de avance, algo diferente.}}



\end{center}
 \vspace*{-.4 true cm}
\end{table}




\section*{Un enfoque final para ajustar una función a través de los datos}


Aquí nuevamente, suponemos que en el tiempo $t_0=0$ tenemos una observación inicial de $1.047$ para el tamaño del derrame y luego en $t_0 + 10 = 10$ tenemos una observación de $1.139$. Define los tiempos para la observación inicial de cada uno de los siguientes $6$ intervalos de observación como $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$, $t_5$, y $t_6$. 

Debido a la noción de saturación, es decir, el derrame de petróleo (si es contiguo), incluso si solo una molécula de espesor tiene un tamaño límite, creemos que UN modelo razonable para el tamaño del derrame de petróleo, $s(t)$, podría ser
\begin{eqnarray}\label{eq:newmodel}
s(t) = A (1 - e^{-k\cdot t})\, ,
\end{eqnarray}

\noindent como este es un modelo limitante o de saturación que a menudo se encuentra en la literatura, nadie cree que el derrame de petróleo crecerá a un tamaño ilimitado. De hecho, a menudo se discute que incluso si el derrame de petróleo tiene una molécula de espesor y es contigua, habrá un límite finito para el área. Nuestra tarea es determinar los parámetros $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$, $t_5$, y $t_6$, así como $A$, y $k$, donde tenemos observaciones de tamaño del derrame al comienzo de cada observación de $10$ minutos en $t_i$ para $i = 1, 2, \ldots, 6$ y el tamaño del derrame al final de cada observación de $10$ minutos en $t_i+10$ $i = 1, 2, \ldots, 6$ para ser $s(t_i+10)$. Realizamos un mínimo cuadrado ``gigante'', (\ref{eq:SSE}), entre los datos observados y nuestro modelo en (\ref{eq:newmodel}) para el conjunto de parámetros , $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$, $t_5$, $t_6$, $A$, y $k$ y minimizamos para encontrar los mejores parámetros de ajuste y luego ver cuán bien nuestro conjunto de parámetros determinado, cuando está en el lugar para nuestra función, predice las observaciones. Aquí vamos. Usamos el comando {\tt FindMinimum} de {\it Mathematica\/} para encontrar el mínimo de la expresión en (\ref{eq:SSE})

\vspace*{-.5 true cm}
\begin{eqnarray}
SSE(t_1,t_2,t_3,t_4,t_5,t_6,A, k) = \sum_{i=1}^6 \large(A \large(1 - e^{-k\cdot t_i}\large)- \hat{s}(t_i)\large)^2 + \large(A \large(1 - e^{-k\cdot (t_i+10)}\large)- \hat{s}(t_i+10)\large)^2 \, , \label{eq:SSE}
\end{eqnarray}
\noindent y esto es lo que devuelve {\it Mathematica\/}:

\begin{eqnarray*}
&&t_1 = 111.306,\,\,\, t_2 = 291.196,\,\,\,  t_3 = 719.367,\,\,\,  t_4 = 1149.13, \\
  &&t_5 = 1645.6,\,\,\,  t_6 = 2156.12,\,\,\,  A = 9.13783,\,\,\,  k= 0.000995548\, .
\end{eqnarray*}

\noindent  $\hat{s}(t_i)$ representa el valor de la observación inicial en la generación $i$ para el tamaño del derrame de petróleo. Con estos valores de tiempo podemos graficar cuándo tuvieron lugar todas nuestras observaciones y comparar esto (ver Figura~\ref{fig:1-5-OilSlickCurveFit}) con la curva de nuestro modelo
$$s(t) = 9.13783 \left(1 - e^{-0.000995548\cdot t}\right)\, .$$



\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{1-5-OilSlickCurveFit.eps}

%\vspace*{-1.7 true cm}

\parbox{12.6 true cm}{\caption{\label{fig:1-5-OilSlickCurveFit} Una gráfica final y convincente del enfoque de ajuste de curvas para modelar la expansión de una mancha de petróleo en la que encontramos los parámetros $A$ y $k$ en el modelo de saturación $s(t) = A (1 - e^{-k*t})$. A partir de este modelo, podemos calcular los tiempos en que el derrame de petróleo adquiere los valores observados. Graficamos nuestro modelo a través de los datos observados originalmente con los tiempos calculados para estas observaciones de nuestro modelo.}}

\end{figure}




\section*{CONCLUSIÓN}



Hemos ofrecido varios enfoques para una situación de modelado y describimos cómo usamos este problema en varias situaciones de aula. Nos hemos maravillado (con ustedes, con suerte) de cómo obtenemos muchas respuestas diferentes e ingeniosas de los estudiantes.

Arribar al punto crucial y frustrante de no saber qué hacer con respecto a intentar graficar datos, lleva a los estudiantes a un momento en el que tendrán que improvisar y probar varios caminos diferentes. Esta es una gran oportunidad de aprendizaje en el arte de modelar y resolver problemas. ¡Los docentes deberían crear y aprovechar esos momentos! Nos hemos tomado el tiempo para demostrar cuidadosamente los resultados de esta oportunidad con este problema que ha ``funcionado" de muchas maneras para nosotros y nuestros estudiantes, como se describió anteriormente. De hecho, este problema es una maravillosa ilustración del adagio de Polya de que la resolución de problemas es ``saber qué hacer cuando no sabes qué hacer".\cite{Polya1945}

Este artículo ha versado sobre una rica experiencia docente que el autor ha tenido durante muchos años y las experiencias de aprendizaje que sus alumnos han demostrado. Hemos mostrado la variedad de respuestas de los estudiantes y la riqueza de los enfoques como ejemplos de cómo las actividades de modelado en un curso de ecuaciones diferenciales pueden ofrecer muchas pistas para el éxito y pueden introducir, motivar y sostener el estudio de ecuaciones diferenciales. 

Te sugiero que hagas la prueba con este problema tan rico en uno de tus cursos que consideres apropiado. Has visto alguna de las cosas que hicieron mis alumnos. Mira cómo tus estudiantes te sorprenderán con sus perspectivas y enfoques personales. ¡Ha valido la pena el viaje CADA vez que he usado este problema desde que lo encontré hace 35 años y NUNCA falla!

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Archer2009} Archer, J. 2009. {\it Paths of Glory\/}.  New York:  St. Martin's Paperbacks.

\bibitem{MontyPython1971} Monty Python.  1971. {\it And now for something completely different\/}. YouTube.  \url{https://www.youtube.com/watch?v=K2P86C-1x3o}. Accessed 25 April 2015.

\bibitem{Polya1945} Polya, G. 1945. {\it How to Solve It\/}. Princeton NJ: Princeton University Press.


\bibitem{Taylor1975} Taylor, P. D. 1975. Calculus with Modelling for Science Majors. {\it Applied Mathematics Notes\/}. 1(2): 64-74. 

\bibitem{Winkel2010} Winkel, B. J. 2010. Modeling the Spread of an Oil Slick  with Irregular Information. {\it International Journal of Mathematical
Education in Science and Technology\/}. 41(8): 1085-1096.

\end{thebibliography}

}
\end{document}
}
\end{document}


