% SIMIODETemplate-TeacherORStudent.tex and simiode.cls for LaTeX2e
% Version 29 July 2015.
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% This class (simiode.cls) is a modification of that used by
% the journal PRIMUS - Problems, Resources, and Issues in
% Mathematics Undergraduate Studies.
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% See http://www.tandfonline.com/loi/upri .
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% The class was developed by  Marc Frantz with suggestions of the
% PRIMUS Editorial Board, especially John Thoo.
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% This template is to be used with the  class file "simiode.cls".
%
% The latest version of this class and template files
% can be found at
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%       <http://www.SIMIODE.org> in the Author section.
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% A "Quick Start Guide" appears below.
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% This file must be processed with version LaTeX2e or higher.
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\documentclass{simiode-spanish}

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% With this version of the tex file and the associated SIMIODE.cls file you can produce BOTH a Student Version and a Teacher Version of your modeling scenario or technique narrative.
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% Basically the Student Version contains the title STUDENT VERSION along with the NAME OF SCENARIO, with no abstract, no keywords, no tags, no author identifiers, and no COMMENTS section. The Student Version contains only the STATEMENT of the modeling scenario with appropriate figures, data, instructions, and perhaps a bibliography appropriate for student resourcing, but nothing in the bibliography which would "give away" the nature of the modeling scenario, etc.
%
%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
%
% Authors can prepare a full Teacher Version using the notions immediately below  to create a pdf for review (but in review please eliminate all information about the author as we use a double-blind referee system. Such information will be restored when accepted and published in SIMIODE at www.simiode.org.
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%***********   Toggle the following line to turn the teacher version on (1) or off (0). ***********
%
%
\def\TeacherEdition{0} % Toggle this line's value.
\newcommand{\teacher}[1]{\ifnum\TeacherEdition=1 #1 \fi}
%
%
% The \teacher{ } command wraps any text that will appear only in the teacher version of
% the document. See this file for examples. This has been done for you in the document below.
% Rename the pdf after you compile each final version.
% This option was created  by Eric Sullivan, Carroll College, Helena MT.
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
%\usepackage{hyperref}

%%REQUIRED PACKAGES FOR SPANISH TRANSLATION
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish,es-tabla]{babel}

%%RENEWING COMMAND TO PRINT TRANSLATION CREDITS INSIDE \author COMMAND
\renewcommand{\and}{\\}

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%% NOTE regarding double spacing %%
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% Manuscripts should be submitted doubled spaced.  This is
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% However, you may obtain an idea of how your article will
% look in final form, so that you can better plan your
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% comment the following line out by inserting a percent sign % (%) at its beginning.

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}

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%% NOTE regarding macros %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Any macros defined for your paper should be contained in
% the top matter. Likewise, any environment definitions such
% as \newtheorem or \newenvironment should also go in the
% top matter.
%
% Do not \input your macros as separate files within your
% final version because more files make it harder for the
% editors and users to keep track of and/or modify and
% append your paper.

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% Top matter is above and
% the beginning of the document below.
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\begin{document}

\newpage


\title{\ifnum\TeacherEdition=1 VERSIÓN DEL PROFESOR \else VERSIÓN DEL ESTUDIANTE \fi\\CONSTRUYENDO UN TÚNEL DE HORMIGAS}

\keywords{hormiga, túnel, derivada, integrar,  duplicando}

\tagwords{primer orden, ecuación diferencial, modelo}

\markboth{CONSTRUYENDO UN TÚNEL DE HORMIGAS}{CONSTRUYENDO UN TÚNEL DE HORMIGAS}






\author{Brian Winkel\\
	Director de SIMIODE\\
	Cornwall NY \teacher{12518} USA\\
	\teacher{BrianWinkel@simiode.org}\\
	\and
	Traducido por Migdonio González\\
	Universidad Tecnológica de Panamá\\
	Ciudad de Panamá, Panamá
}


		\makeStitlePDFLaTex

\teacher{
\begin{abstract}
Planteamos la posibilidad de modelar cuánto tiempo tarda una hormiga en construir un túnel. Con un poco de orientación, los estudiantes producen un modelo para el tiempo que lleva construir un túnel de longitud $x$ en el costado de una colina arenosa húmeda. 
\end{abstract}


\vspace*{-.3 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-1 true cm}
\listtags

}
\section*{ENUNCIADO}




¿Cuánto tiempo le toma a una hormiga construir un túnel? Esa parece una pregunta razonable. Si alguna vez, cuando estabas en la primaria, una tía bien intencionada te regaló una colonia de hormigas, es posible que hayas visto a las hormigas construyendo laboriosamente y es posible que tengas una idea al respecto. Para responder a la pregunta, quizás necesitemos reducir un poco el alcance, simplificar, y ciertamente identificar términos y variables antes que podamos obtener una buena respuesta. Identifiquemos algunas variables y luego juntos hagamos algunas suposiciones que conducirán a un modelo matemático. 

\vspace*{.2 true cm}
Sea $x$ la longitud del túnel en pies que construye una hormiga.

\vspace*{.2 true cm}
Sea $T(x)$ el tiempo en horas que le toma a la hormiga construir el túnel de longitud $x$. 

\vspace*{.2 true cm}
Podemos hacernos una idea de nuestra situación haciendo un bosquejo en la Figura~\ref{fig:1-007-ModelingOneAnt1}.


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10.9cm]{1-007-ModelingOneAnt1.eps}



\vspace*{-11.5 true cm}
\parbox{12.2 true cm}{\caption{\label{fig:1-007-ModelingOneAnt1} Bosquejo para el modelo de construcción del túnel por una hormiga. $x$ es la longitud del túnel y $T(x)$ es el tiempo que le toma a una hormiga construir un túnel de longitud $x$.}}
\end{center}

\end{figure}
\begin{itemize}


\item [a)] Escribe varias funciones candidatas para $T(x)$ y da uno o dos argumentos a favor y en contra de cada una de ellas.


\end{itemize}

Vemos que intentar saltar justo encima de $T(x)$ puede ser difícil.  Entonces, en lugar de ir directamente tras $T(x)$ examinemos la Figura~\ref{fig:1-007-ModelingOneAnt2}.  Considera algunos supuestos que (i) reflejen la realidad de tal situación y (ii) podrían simplificar el modelo en un primer intento. Escribe estos supuestos y escribe los más útiles como prólogo de tus respuestas a (b)-(c).

\vspace*{.4 true cm}

Ahora mira si podemos construir un modelo usando estas suposiciones para ayudarnos a determinar cuánto tiempo puede tomar una hormiga en {\it extender\/} un túnel desde la distancia $x$ hasta la distancia $x+h$. Así buscamos una expresión para (\ref{eq:change}):

\begin{equation}\label{eq:change}
T(x+h) - T(x) = \rule{4 true cm}{.01 cm}
\end{equation}

Ten en cuenta que $T(x+h) -   T(x) \neq T(h)$, ya que $T(h)$ representa el tiempo que lleva cavar un pequeño túnel de longitud $h$ desde la boca del túnel, mientras que $T(x+h) - T(x)$ incluye el tiempo que lleva extender el túnel desde la longitud $x$ hasta $x+h$. Este último tiempo debe tomar en cuenta el tiempo para que la hormiga lleve todo el material de la región de $x$ a $x+h$ hasta afuera a lo largo de un camino de longitud $x$, que es más que solo el tiempo que toma, $T(h)$, para llevar el material a una distancia de solo $h$ hasta la boca del túnel.

\begin{itemize}
\item [b)] Enumera las variables (presentes o a ser introducidas) de las que la expresión en (\ref{eq:change}) podría depender.

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=10.9cm]{1-007-ModelingOneAnt2.eps}

\vspace*{-11.5  true cm}


\parbox{12.2 true cm}{\caption{\label{fig:1-007-ModelingOneAnt2} Diagrama útil para descubrir el tiempo que lleva construir una pequeña sección del túnel de hormigas desde la distancia $x$ hasta $x+h$. }}
\end{center}
\vspace*{-.5  true cm}
\end{figure}



\item [c)] A continuación hay varios modelos matemáticos posibles para (\ref{eq:change}). Defiende o rechaza cada uno y ofrece tus razones. Prueba modificar uno o dos y mejorarlos. Cuando intentes rechazar un modelo, considera algunos casos triviales y mira si tiene sentido, por ejemplo, $h=0$ o $x = 0$  o $h$ o $x$ son muy grandes.
\begin{itemize}
\item [i)] $T(x+h) - T(x) = x + h$.
\item [ii)] $T(x+h) - T(x) = x - h$.
\item [iii)] $T(x+h) - T(x) = x^h$.
\item [iv)] $T(x+h) - T(x) = x\cdot h$.
\item [v)] $T(x+h) - T(x) = h^x$.
\item [vi)] $T(x+h) - T(x) = c$.
\end{itemize}
\end{itemize}





\begin{itemize}
\item [d)] Convierte tu modelo de ecuación en diferencias~(\ref{eq:change}) en una ecuación diferencial con condiciones iniciales apropiadas.
\item [e)] Resuelve la ecuación diferencial que crees en (d) para $T(x)$. Sugerencia: ¿Qué condición inicial $T(0)$ usarás?
\item [f)] Usa tu solución de (e) para determinar cuánto tiempo lleva construir un túnel que es dos veces más largo que un túnel original de longitud $L$. ¿Qué respuesta te habrían dado a esta misma pregunta alguno de los modelos de funciones que planteaste en la parte (a)?
\item [g)] Supongamos que tenemos dos hormigas cavando a cada lado de nuestra colina de arena a lo largo de la misma línea recta. ¿Cómo alteraría esto el tiempo total para cavar el túnel? 
\end{itemize}

Por supuesto, podemos aplicar estos mismos principios de nuestro modelo a la construcción de túneles reales para ingenieros. 

\begin{itemize}
\item [h)] Si estuviéramos considerando (g) en relación con la construcción de ingeniería de un túnel largo de longitud $L$, describe alguno de los problemas que debemos tener en cuenta al tener dos equipos (uno de cada extremo del túnel) trabajando en el túnel. 
\end{itemize}


\teacher{
\section*{COMENTARIOS}


Esta es una actividad que se puede cubrir en medio período de clase con todos los estudiantes participando juntos o en pequeños grupos. 

Esta es una tarea de escritura en la que los estudiantes construyen, defienden y resuelven su modelo matemático y lo entregan como tarea. También podría servir como un mini proyecto. Dale tiempo a los estudiantes (digamos que una semana, encontramos que es tiempo suficiente) para organizar, reflexionar y completar su análisis y comunicación en su esfuerzo escrito. 

Los estudiantes que han cursado Cálculo tanto diferencial como integral podrían usar esto como una introducción a lo que que es una ecuación diferencial, cómo podría llegar a ser y cómo se puede resolver, con atención al uso de las condiciones iniciales para determinar la constante de integración desde Cálculo.

La evaluación de dicho esfuerzo de los estudiantes podría ser un enfoque basado en una rúbrica diseñada por cada profesor para ajustarse a una rúbrica del curso preconstruida o simplemente una rúbrica para una redacción de introducción, que es lo que este trabajo sería. El material a buscar son expresiones claras de suposiciones, conexiones con las suposiciones necesarias: tanto formulación matemática como narrativa verbal, conectividad entre declaraciones y secciones, buena comunicación en general, uso apropiado de símbolos, y una exposición matemática correcta, lógica y con atención al detalle. Finalmente, debería haber alguna conclusión, quizás con alguna reflexión sobre el proceso que cada profesor podría asignar. 

Dado que a menudo se trata de una tarea temprana, el profesor debe asegurarse de que se corrijan los errores y las ideas incompletas, pero también se deben recompensar los pequeños problemas y afirmaciones en este conjunto de pequeños pasos hacia modelar con ecuaciones diferenciales. La calificación puede reflejar esfuerzo, pulcritud, organización y flujo, así como detalles técnicos y narrativa técnica. Encontramos que no es bueno dar a los estudiantes bajas calificaciones si se observa evidencia de un esfuerzo de buena fe para comunicarse, especialmente al principio de dicho curso. ¡Esta es una tarea en la que una ``charla motivadora'' con un enfoque de palabras alentadoras con muchos comentarios es mejor para la motivación que una calificación severa!

 
Aquí hay algunas suposiciones que surgen en la consideración de modelar la construcción del túnel de hormigas. Algunas pueden ser simplificaciones, otras pueden ser simplificaciones excesivas y otras pueden ser irrelevantes.

\begin{enumerate}
\item La arena es de naturaleza uniforme, que consiste en granos finos.
\item La arena es seca.
\item La arena es húmeda.
\item La hormiga trabaja sola.
\item Es verano.
\item La hormiga trabaja durante el día y la noche.
\item La hormiga construirá un túnel recto nivelado. 
\item La hormiga construirá en arena fina, húmera y uniforme. 
\item La hormiga caminará tan rápido cuando carga algo como cuando no tiene carga. Se necesitaría más energía para hacerlo, pero el ritmo es el mismo.
\item La hormiga es incansable y continúa trabajando a un ritmo constante.
\item El área de la sección transversal del túnel es constante. 
\item El material a través del cual se excava el túnel NO es arena, sino arcilla dura. 
\item El tiempo para desenterrar el material $x$ unidades dentro del túnel no es insignificante.
\item La hormiga no necesita quitar la arena de la abertura del túnel.
\item La hormiga está cavando en el costado de un muro de arena.
\item Etc.
\end{enumerate}



Aquí hay una manera de hacer que los estudiantes se muevan a lo largo de un camino para un modelo.  Supongamos que nos decidimos por una variación de (iv) en nuestra lista de candidatos para $T(x+h) - T(x)$ arriba, es decir,

\begin{equation}\label{eq:diffEq}
T(x+h) - T(x) = \alpha\cdot  x\cdot h\, .
\end{equation}


¿Qué podría representar $\alpha$?  ¿Qué información de nuestras suposiciones podría incluirse en $\alpha$? ¿Cuáles tendrían que ser las unidades de $\alpha$?


Esta actividad siempre ha demostrado ser accesible para los estudiantes y con un poco de orientación, los estudiantes pueden producir un modelo razonable y probarlo para verificar si es realista a su satisfacción.  El documento adjunto AntsTunnels\&CalculusPaper.pdf es una reproducción del artículo publicado \cite{WinkelAnt1994} en el que se describe el proceso de modelado, junto con los problemas de los estudiantes.

\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{WinkelAnt1994} Winkel, B. J. 1994. Ants, Tunnels, and Calculus:  An Exercise in Mathematical Modeling. {\it Mathematics Teacher}. 87(4): 284-287.

\end{thebibliography}



 }


\end{document}
