% SIMIODE-TeacherStudent-Template.tex and simiode.cls for LaTeX2e
% Version 22 November 2016.
% 
% This template is to be used with the  class file "simiode.cls". 
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% The latest version of this class and template files 
% can be found at
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%       <http://www.SIMIODE.org> in the Author section.
%
% A "Quick Start Guide" appears below.
%
% This file must be processed with version LaTeX2e or higher.
% Appreciation to Mark Frantz, IUPUI; John Thoo, Yuba College; and Eric Sullivan, Carroll College.
%
\documentclass{simiode}
%
% With this version of the tex file and the associated SIMIODE.cls file you can produce BOTH a Student Version and a Teacher Version of your modeling scenario or technique narrative.
%
% Student Version contains the title STUDENT VERSION along with the NAME OF SCENARIO, with no abstract, no keywords, no tags, no author identifiers, and no COMMENTS section. The Student Version contains only the STATEMENT of the modeling scenario only with appropriate figures, data, instructions, and perhaps a bibliography appropriate for student resourcing, but nothing in the bibliography which would "give away" the nature of the modeling scenario, etc.
%
%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
%
% Authors can prepare a full Teacher Version using the notions immediately below  to create a pdf for review, but in review please eliminate all information about the author as we use a double-blind referee system. Such information will be restored when accepted and published in SIMIODE at www.simiode.org.
%
%***********   Toggle the following line to turn the teacher version on (1) or off (0). ***********
%
\def\TeacherEdition{0} % Toggle this line's value.
\newcommand{\teacher}[1]{\ifnum\TeacherEdition=1 #1 \fi}
%
% The \teacher{ } command wraps any text that will appear only in the teacher version of
% the document. See this file for examples. This has been done for you in the document below.   
% Rename the pdf after you compile each final version.
%
\usepackage{amsmath,amssymb,empheq,mathrsfs}
\usepackage{xcolor,verbatim}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{framed}
\usepackage{tasks}
\usepackage{exsheets}
\SetupExSheets[question]{type=exam}
\DeclareMathOperator{\csch}{csch}
\renewcommand\refname{BIBLIOGRAF\'IA}
%\usepackage{hyperref}    
\usepackage{url}
%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\figurename}{Fig.}
%
% NOTE regarding macros %%
%
% Any macros defined for your paper should be contained in 
% the top matter. Likewise, any environment definitions such 
% as \newtheorem or \newenvironment should also go in the 
% top matter. 
% 
% Do not \input your macros as separate files within your 
% final version because more files make it harder for the 
% editors and users to keep track of and/or modify and 
% append your paper.
%
% Top matter is above and the beginning of the document below.
%
\begin{document}

\newpage
%
% You only need to change the NAME OF SCENARIO in the next line and delete the footnote. 
% See above for instructions on toggling from Teacher Version to Student Version.
%
\title{\ifnum\TeacherEdition=1 Aplicaciones biomedicas y qu\'imicas de ecuaciones diferenciales%Chemical and biomedical applications of differential equations %\footnote{DELETE THIS FOOTNOTE BEFORE SUBMISSION.  In the \TeX \, source code there is a toggle/option to produce a Teacher Version or a Student Version by ``carving'' out with  $\backslash$teacher\{\} that material which should only appear in the Teacher version. See the source code.} 
\else VERSI\'ON ESTUDIANTE \fi\\Aplicaciones biomedicas y qu\'imicas de ecuaciones diferenciales}



\teacher{
    \keywords{Catalysis, second order equation, chemical engineering, cyclohexane, hydrogel
    }%Invasive species; fundamental solution; traveling waves; dispersion; migration}%Enter all words that could be considered key, to include words as general as differential equations or as specific as  kinetics. This list is to have no more than  five keywords. These will serve as tags for colleagues to use in searching SIMIODE for location of material. The Editor may suggest/change/add/delete some for more refinement as necessary.}

\tagwords{dehydrogenation, hyperbolic trig functions; porous medium, chemistry
}%Partial differential equation model; dispersive migration model; logistic growth; traveling wave solutions; fundamental solutions} %Here you can enter a wider set of words which serve as tags (as do keywords) in the SIMIODE web site. Keep this list to ten words. The Editor may suggest/change/add/delete some for more refinement as necessary.}
}

\markboth{Aplicaciones biomedicas y qu\'imicas de EDs}{Aplicaciones biomedicas y qu\'imicas de EDs}
%\markboth{Dehydrogenation of Cyclohexane}{From Dehydrogenation of Cyclohexane to tissue growth: applying ODEs in real life}

\author{Eric Stachura\\
Department of Mathematics\\ 
Kennesaw State University\\
Marietta, GA \teacher{30060} USA\\
\teacher{eric.stachura@kennesaw.edu}
\and
Tamara Lozano\\
Yokogawa Corporation\\
Newnan, GA \teacher{30265} USA\\
\teacher{tamara.lozano@us.yokogawa.com}
}

%}

\makeStitlePDFLaTex

\teacher{
\begin{abstract}
Los estudiantes ser\'an guiados a trav\'es de un problema cl\'asico de ingenier\'ia qu\'imica: calcular el perfil de concentraci\'on de ciclohexano dentro de uno gr\'anulo de catalizador resolviendo una ecuaci\'on diferencial lineal de segundo orden. Luego, los estudiantes analizar\'an la concentraci\'on a medida que el radio del catalizador se reduce a cero. Finalmente, explorar\'an un m\'odulo de Mathematica donde pueden explorar las relaciones entre los diversos par\'ametros dentro del problema. En particular, ver\'an que la disminuci\'on del radio del granulo de catalizador de como resultado una concentraci\'on qu\'imica m\'as baja en el centro del granulo que en la superficie. Tambi\'en se incluye un conjunto opcional de preguntas relacionadas con un modelo de hidrogel para reemplazo de la articulaci\'on de la rodilla, utilizando matem\'aticas similares. 
%Students will be lead through a classical chemical engineering problem: to calculate the concentration profile of cyclohexane within a catalyst pellet by solving a second order linear differential equation. Then students will analyze the concentration as the radius of the catalyst shrinks to zero. Finally, they will explore a Mathematica Module where they can explore the relationships between the various parameters within the problem. In particular, they will see that decreasing the radius of the catalyst pellet results in a lower chemical concentration at the center of the pellet than at the surface. An optional set of questions related to a hydrogel model for knee joint replacements, using similar mathematics, is also included.
\end{abstract}
}

\teacher{
\vspace*{-.1 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-.9 true cm}
\listtags
}

\teacher{
\section*{NOTAS}
Las soluciones a las preguntas est\'an en texto azul debajo de cada pregunta. Adem\'as, los \'ultimos ejercicios sobre el hidrogel son opcionales y se dejan a discreci\'on del instructor. 
%Solutions to the questions are in blue text beneath each question. Additionally, the last few exercises on the hydrogel are optional and left at the discretion of the instructor.
}

\section*{LA PROBLEMA}
Un \emph{catalizador} es un material capaz de acelerar una reacci\'on qu\'imica sin ser consumido durante el proceso de reacci\'on. Los catalizadores a menudo consisten en una material poroso con un \'area de superficie alta, en el cual las part\'iculas de un metal precioso se han dispersado. Las part\'iculos catal\'iticas a menudo se denominan gr\'anulos. Alrededor de cada gr\'anulo, hay una pel\'icula fina de gas que contiene una mezcla de reactivos y productos; ver Figura \ref{pellet} y Figure \ref{catsurf1} para una versi\'on 2D. 
%A \emph{catalyst} is a material which is capable of accelerating a chemical reaction without being consumed during the reaction process. Catalysts often consist of a porous material with high surface area, in which particles of a precious metal have been dispersed. Catalytic particles are often referred to as pellets. Surrounding each pellet, there is a thin gas film that contains a mix of reactants and products; see Figure \ref{pellet} and Figure \ref{catsurf1} for a 2D version.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{pellet.pdf}
\caption{Gr\'anulo de catalizador con una fina pel\'icula de gas que lo rodea.}
\label{pellet}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{fina4}
\caption{Rebanada bidimensional de superficie del catalizador con reactivos y productos.}
\label{catsurf1}
\end{center}
\end{figure}


Primero, ¿qu\'e significa ser poroso? Intuitivamente, dicho medio tiene ``poros", o vac\'ios, que generalmente se llenan con un fluido. Los ejemplos incluyen esponjas, rocas, tierra, tejidos biol\'ogicas, etc. Puedes imaginar algo como en Figura \ref{porousmedium}.
%First, what does it mean to be porous?  Intuitively, such a medium has ``pores", or voids, which are typically filled with a fluid. Examples include sponges, rocks, soil, biological tissues, etc. You can imagine something as in Figure \ref{porousmedium}. 

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{pore_scale_flow_structure}
\caption{Un medio poroso.}
\label{porousmedium}
\end{center}
\end{figure}


\teacher{Para un an\'alisis m\'as profundo de los medios porosos y las ecuaciones diferenciales involucradas en ellos, vea \cite{ES19porosity}.}
%For a more in-depth analysis of porous media and the differential equations involved in them, see \cite{ES19porosity}.} 

Luego, el reactivo debe difundirse a trav\'es de los poros del gr\'anulo para alcanzar los \'atomos met\'alicos que se dispersan a trav\'es del gr\'anulo. Ver Figura \ref{catsurf2}.
%Then, the reactant must diffuse through the pellet pores to reach the metal atoms that are dispersed through the pellet. See Figure \ref{catsurf2}.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{fina5}
\caption{Los reactivos deben penetrar los poros de la superficie para que occura la reacci\'on.}
\label{catsurf2}
\end{center}
\end{figure}

Para que se produzca una reacci\'on, el reactivo debe alcanzar la superficie del gr\'anulo despu\'es de ser transferido a trav\'es de la pel\'icula de gas. De manera similar, despu\'es de que la reacci\'on tiene lugar y se forma el producto, ese producto debe transferirse del metal de regreso a la superficie del gr\'anulo a trav\'es del poro, y luego salir al medio de reacci\'on a trav\'es de la pel\'icula de gas. Ver Figura \ref{catsurf3}.
%In order for a reaction to occur, the reactant must reach the pellet surface after being transferred through the gas film. Similarly, after the reaction takes place and the product is formed, that product must transfer from the metal back to the pellet surface through the pore, and then out into the reaction medium through the gas film. See Figure \ref{catsurf3}.

 
 
 \begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{fina6}
\caption{Los productos deben transferirse de nuevo a la superficie a trav\'es del poro.}
\label{catsurf3}
\end{center}
\end{figure}

 
 
Un problema importante en la ingenier\'ia qu\'imica es predecir la difusi\'on y reacci\'on en un granulo de catalizador poroso. El objectivo es predecir la velocidad de reacci\'on global en la superficie del granulo de catalizador \cite{Davis2013}. 

%An important problem in chemical engineering is to predict the diffusion and reaction in a porous catalyst pellet. The goal is to predict the overall reaction rate on the catalyst pellet surface \cite{Davis2013}.  \\









%\textcolor{red}{INSERT PICTURE}
%Thus, for a given chemical component, the sum of the masses entering the system and being generated by the chemical reaction must be equal to the sum of masses leaving the system and being consumed in the reaction. T
La conservaci\'on de la masa es un principio cient\'ifico que establece que en una reacci\'on qu\'imica, la materia no se puede crear ni destruir. Esto se puede expresar matem\'aticamente por $c$, la concentraci\'on de un producto qu\'imico dado, en un granulo esf\'erica con radio $r_p$ por la siguiente ecuaci\'on diferencial de segundo orden:
%Conservation of mass is a scientific principle stating that in a chemical reaction, matter can neither be created nor destroyed. This can be expressed mathematically for $c$, the concentration of a given chemical, in a spherical pellet with radius $r_p$ by the following second order differential equation:
\begin{align} \label{conservationofmass1}
D \left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dc}{dr} \right) \right) = k R(c), \quad 0 < r< r_p 
\end{align}
donde:
\begin{itemize}
\item $D$ es la constante de difusividad, en unidades de $cm^2/s$;
%\item $c$ is the concentration of a given chemical;
\item $k$ es la tasa constante; 
\item $R(c)$ es la funci\'on de velocidad de reacci\'on (podria ser no lineal), en unidades de moles por volumen por tiempo (mol/L/s)
\end{itemize}
Las condiciones de contorno son
\[ \dfrac{dc}{dr} = 0 \quad \text{ a } \quad r=0\]
y
\[c=c_0 \quad \text{ a } \quad r=r_p \quad (\text{la concentraci\'on se fija en la superficie})\]
Tenga en cuenta que las unidades de $k$ realmente dependen del orden de la reacci\'on. Por ejemplo, en una reacci\'on de primer orden, las unidades de $k$ son $1/s$.
%Note that the units of $k$ actually depend on the order of the reaction! For example, in a first order reaction, the units of $k$ are $1/s$. %The units of $R(c)$ further depend on which function one chooses; for instance, if $R(c)=c$, the units are number of moles per $dm^3$ of open pore volume.

\begin{framed}
\begin{question}[name=Ejercicio]
Definir el \emph{factor de efectividad} $E$: la velocidad de reacci\'on promedio en el gr\'anulo dividida por la velocidad de reacci\'on promedio en la superficie:
%Define the \emph{effectiveness factor} $E$ as the average reaction rate in the pellet divided by the average reaction rate on the surface:
\[ E \coloneqq \dfrac{\int_0^{r_p} R(c(r)) r^2 dr}{\int_0^{r_p} R(c_0) r^2 dr }.\]
Integre (\ref{conservationofmass1}) para obtener una expresi\'on para $E$ en t\'erminos de $r_p, D, \dfrac{dc}{dr}, k$ y $R(c_0)$.
%Integrate the conservation of mass equation (\ref{conservationofmass1}) to obtain an expression for the effectiveness factor $E$ in terms of $r_p, D, \dfrac{dc}{dr}, k$, and $R(c_0)$. 
\end{question}
\end{framed}

%\newpage

\teacher{
\textcolor{blue}{Integrando la conservaci\'on de masa ecuacion da
\[ D \int_0^{r_p} \left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dc}{dr} \right)\right) r^2 dr = k \int_0^{r_p} R(c(r)) r^2 dr = D r_p^2 \left. \dfrac{dc}{dr}\right|_{r=r_p},\]
que en t\'erminos de $E$ rinde
\[ E= \dfrac{3 r_p^2 D \left. \dfrac{dc}{dr} \right|_{r=r_p} }{k R(c_0)}. \]
}
}

\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Interpretar el significado de $E=1$ y $E<1$, y lo que esto significa en t\'erminos de la velocidad de reacci\'on en el granulo. 

\end{question}
\end{framed}

\teacher{
\textcolor{blue}{Si $E=1$, entonces la velocidad de reacci\'on global en el gr\'anulo es igual al valor superficial de la velocidad de reacci\'on, por lo que la transferencia de masa no tiene efectos limitantes sobre la velocidad de reacci\'on. Si $ E <1 $, la transferencia de masa ha limitado la tasa general en el granulo.

}
}


%\textcolor{red}{Explain below}

Una reacci\'on qu\'imica catal\'itica muy \'util es la deshidrogenaci\'on del ciclohexano. Ver Figura \ref{Lewis} para la estructura de Lewis del ciclohexano (¿recuerda su clase de qu\'imica?). Este proceso industrial requiere el uso de $ \gamma- $ al\'umina, un gr\'anulo de catalizador poroso con forma esf\'erica. En esta esfera, que tiene di\'ametro $5 \text{ mm}$, se han dispersado part\'iculas de platino (un metal precioso y muy caro) para catalizar la reacci\'on qu\'imica.
on.



\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Lewisstructure.png}
\caption{Estructura Lewis de ciclohexano $C_6H_{12}$.}
\label{Lewis}
\end{center}
\end{figure}

Como su nombre indica, la deshidrogenaci\'on implica la eliminaci\'on de \'atomos de hidr\'ogeno, un proceso que generalmente requiere altas temperaturas. El catalizador $ \gamma $ -al\'umina es una opci\'on popular de catalizador para esta reacci\'on debido a sus propiedades qu\'imicas, que lo hacen resistente a las condiciones de reacci\'on extremas. La figura \ref{process} proporciona una descripci\'on de este proceso de reacci\'on qu\'imica. Es un proceso de 3 etapas, y en cada etapa se libera una mol\'ecula de hidr\'ogeno.


\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{reactionpic.png}
\caption{Proceso de deshidrogenaci\'on.}
\label{process}
\end{center}
\end{figure}

Supongamos que a $700 \; \text{K} $, la constante de velocidad para esta reacci\'on es $ k = 4 \; \text{s}^ {-1}$ y la difusividad $D = 5 \times 10^{-2} \text{cm}^2/ s $. \textbf{Su objetivo es calcular el perfil de concentraci\'on de ciclohexano dentro del sedimento, as\'i como el factor de efectividad.}

La cantidad de inter\'es a calcular es el perfil de concentraci\'on de ciclohexano, que definimos como
\[ C \coloneqq \dfrac{\text{concentraci\'on de ciclohexano dentro del gr\'anulo}}{\text{concentraci\'on de ciclohexano en la superficie del gr\'anulo}}\]


La conservaci\'on de masa del ciclohexano proporciona el siguiente modelo (consulte \cite[Cap\'itulo 12]{Fogler2010} para obtener una derivaci\'on completa):
\begin{align} \label{cyclomodel}
 \dfrac{d^2 C}{d R^2} + \dfrac{2}{R} \dfrac{dC}{dR} = \Phi^2 \dfrac{R(c)}{c_0}, \quad 0<R<1
 \end{align}
donde $ R $ es la coordenada radial reescalada, es decir $R=r/r_p$. La constante $ \Phi $ se llama \emph{Thiele modulus} y viene dada por
\[ \Phi = r_p \sqrt{\dfrac{k}{D}}.\]
Esta cantidad fue introducida por E. W. Thiele en \cite{Thiele1939}, y lleg\'o a describir la relaci\'on entre las velocidades de difusi\'on y reacci\'on en gr\'anulos de catalizador porosos.\\
Las condiciones de contorno son similares a las indicadas anteriormente, excepto que se ajustan adecuadamente:
\[\dfrac{dC}{dR} = 0 \quad \text{ at } \quad R=0 \]
y
\[ C=1 \quad \text{ at } \quad R=1 \quad (\text{esto es por definici\'on, tomamos $c_0=1$})\]


\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Supongamos que $R(c) = kc$. Use las condiciones de contorno para resolver y proporcionar una soluci\'on expl\'icita de (\ref{cyclomodel}). HINT: Primero, haz la sustituci\'on $z=CR$ y resolver la ecuaci\'on satisfecha por $z$.
\end{question}
\end{framed}
\teacher{
\textcolor{blue}{Hacer la sustituci\'on produce la ecuaci\'on
\[ \dfrac{d^2 z}{dR^2} = \Phi^2 z\]
cuya soluci\'on es
\[ z(R)= c_1 e^{\Phi R} +c_2 e^{-\Phi R}\]
Ahora aplicamos las condiciones de contorno: la condici\'on en la derivada de $C$ da $c_1=-c_2$, y entonces
\[z=c_1\left( e^{\Phi R} -e^{-\Phi R}\right) = 2c_1 \sinh(\phi R)\]
por definici\'on de $\sinh(x)$. La segunda condici\'on produce
\[1=2c_1 \sinh(\Phi)\]
y entonces
\[C=\dfrac{z}{R} = \dfrac{\sinh(\Phi R)}{R\sinh(\Phi)}.\]
}
}

\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Usa tu respuesta de la pregunta anterior, escribe $E$ solo en t\'erminos de $\Phi$. Mira Ejercicio 1.
\end{question}
\end{framed}

\teacher{
\textcolor{blue}{Integramos
\[C(R)= \dfrac{\sinh(\Phi R)}{R\sinh(\Phi)}\]
con respecto a $R^2 dR$ desde $R=0$ a $R=1$ (desde que hemos reescalado), y use la definici\'on de $E $ para obtener
\[E = \dfrac{3}{\Phi}\left( \dfrac{1}{\tanh(\Phi)} -\dfrac{1}{\Phi}\right)\]
Ver en particularr \cite{Carberry2001}.
}
}

\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Analiza el l\'imite $\lim_{R\to 0} C(R)$. Interpete el l\'imite en t\'erminos de la reacci\'on en el centro del gr\'anulo. Con el valor de $E$ que calcul\'o el la \'ultima pregunta, ¿qu\'e puede decir sobre la velocidad de reacci\'on promedio en el gr\'anulo? 
\end{question}
\end{framed}

\teacher{
\textcolor{blue}{Con la ayuda de una computadora, encontramos que
\[\lim\limits_{R\to 0} C(R)= \Phi \csch(\Phi)\]
Un diagrama de esta funci\'on se puede encontrar en la Figura \ref{phiplot}. En particular, desde $ \Phi> 0 $, tenemos que $\lim\limits_{R\to 0}C(R) \neq 0$ y es finito, lo que significa que la concentraci\'on es finita como $R\to 0$.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{phi_plot}
\caption{Un diagrama de $\Phi \csch(\Phi)$. Tenga en cuenta que solo la mitad derecha del gr\'afico es relevante aqu\'i ya que $\Phi>0$.}
\label{phiplot}
\end{center}
\end{figure}
Adem\'as, al trazar $ E $ en funci\'on de $ \Phi $, vemos que $ E <1 $. Por lo tanto, en el Ejercicio 2, vemos que la transferencia de masa ha limitado la velocidad de reacci\'on global en el sedimento.
}
}

\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Supongamos que tiene una velocidad de reacci\'on non lineal ahora, de modo que $R(c)= kc^2$. ¿C\'omo podr\'ia calcular el perfil de concentraci\'on de ciclohexano y calcular el factor de efectividad en este caso? 
\end{question}
\end{framed}
\teacher{
\textcolor{blue}{La ecuaci\'on de balance de materiales es ahora
\[ \dfrac{d^2C}{dR^2} + \dfrac{2}{R} \dfrac{dC}{dR} = \Phi^2 C^2, \quad 0 < R< 1\]
¡Esta es una ecuaci\'on no lineal de segundo orden! Nuestra \'unica esperanza es resolver esto num\'ericamente.
}
}
\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Explore el Catalyst Analysis m\'odulo, adaptado de \cite{Baumann2017}. Ver\'a la relaci\'on entre la concentraci\'on del reactivo dentro del gr\'anulo y el radio del gr\'anulo.¿Qu\'e sucede a medida que disminuye el radio del gr\'anulo? ¿Qu\'e sucede si disminuye la tasa constante? ¿Por qu\'e crees que es? 
\end{question}
\end{framed}
\teacher{
\textcolor{blue}{
Una disminuci\'on en el radio del gr\'anulo permite que el reactivo se difunda hacia el centro m\'as r\'apidamente. Como el reactivo se consume en la reacci\'on, la concentraci\'on en el centro de la part\'icula es menor que en la superficie ($C_{a,s}$). Por lo tanto, a medida que disminuye el radio del gr\'anulo, se observa una disminuci\'on en la concentraci\'on de reactivo.
Por otro lado, la constante de velocidad es directamente proporcional a la velocidad de la reacci\'on, que describe qu\'e tan r\'apido se consume el reactivo.
Una constante de alta velocidad implicar\'ia un consumo r\'apido de reactivo, por lo tanto, su concentraci\'on disminuye m\'as r\'apido. Cuando la velocidad constante es baja, la reacci\'on tiene lugar a un ritmo m\'as lento y la disminuci\'on de la concentraci\'on se produce m\'as suavemente. \\
}
}


\teacher{
Estos \'ultimos ejercicios son opcionales. \\

Las ecuaciones que describen la difusi\'on y la reacci\'on en catalizadores porosos tambi\'en se pueden usar para obtener tasas de crecimiento de tejido. M\'as de 200,000 pacientes cada a\~no reciben reemplazos de articulaciones de rodilla. Un enfoque para hacer crecer el cartílago para reparar las rodillas da\~nadas es liberar c\'elulas formadoras de cart\'ilago en un hidrogel en el \'area da\~nada. El dise\~no del gel debe ser para que el gel pueda mantener las tasas necesarias de difusi\'on de nutrientes en el hidrogel. En particular, el grosor del gel debe dise\~narse de tal manera que permita el transporte r\'apido de ox\'igeno \cite[Chapter 12]{Fogler2010}.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{cylinderpic}
\caption{Modelo de hidrogel.}
\label{default}
\end{center}
\end{figure}


\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Su objetivo es encontrar el grosor del gel al cual la tasa m\'inima de consumo de ox\'igeno es $10^{-13}$ mol/cell/h, donde $h$ denota horas. La densidad celular es $10^{10}$ c\'elulas/$\text{dm}^3$, la concentraci\'on masiva de ox\'igeno es $2\times 10^{-4}$ mol/$\text{dm}^3$, y la difusividad es $10^{-5} \text{cm}^2/s$. Consideraciones f\'isicas (ver \cite[Chapter 12]{Fogler2010}) implica que la ecuaci\'on satisfecha por la concentraci\'on adimensional $C$ satisface
\[ \dfrac{d^2 C}{dz^2} =2\Phi_0, \quad \Phi_0 = \dfrac{k}{2 DC_0} L^2\]
con condiciones de contorno
\[ C(z)=1 \quad \text{ a } \quad z=0\]
y
\[\dfrac{dC}{dz} =0 \quad \text{ a } \quad z=1.\]
Arriba, $ L $ denota el grosor del gel.
Resolver por $C(z)$. Resulta que su soluci\'on solo es v\'alida para $\Phi_0 \leq 1$. Para ver por qu\'e, intente configurar $\Phi_0 = 10$ y luego calcular $C(0.1)$. ¿Lo que pasa?
\end{question}
\end{framed}
\textcolor{blue}{La integraci\'on de la ecuaci\'on de segundo orden una vez que produce
\[\dfrac{dC}{dz} = 2\Phi_0 z + K_1\]
por alguna constante $K_1$. La segunda condici\'on implica que $K_1 = -2\Phi_0$. Integre la ecuaci\'on de primer orden resultante una vez m\'as para obtener
\[C(z) = \Phi_0 z^2 -2\Phi_0 z + K_2\]
por alguna constante $K_2$. La otra condic\'ion implica que $K_2 = 1$, entonces el perfil de concentraci\'on es
\begin{align} \label{cartilageprofile}
C(z) = \Phi_0 z(z-2) + 1
\end{align}
Tenga en cuenta que el perfil de concentraci\'on adimensional (\ref{cartilageprofile}) solo es v\'alido para valores de $\Phi_0 \leq 1$. De hecho, puedes ver esto configurando $\Phi_0=10$ y $z=0.1$. Encontramos que $C(z) = -0.9$, un perfil de concentraci\'on negativo. Por lo tanto, matem\'aticamente deber\'iamos limitarnos a soluciones \emph {positivas}. F\'isicamente, los valores de concentraci\'on negativos no son \'utiles.
}
\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Con los datos dados de Ejecricio 8, calcular la tasa constante $k$ (sus unidades deben estar en mole/$\text{dm}^3 \cdot \text{h}$). Luego, calcula el Thiele modulus $\Phi_0$. 
\end{question}
\end{framed}
\textcolor{blue}{Calculamos
\[ k = \dfrac{10^{10} \text{c\'elulas}}{\text{dm}^3} \cdot \dfrac{10^{-13} \text{mole}\;  O_2}{\text{c\'elulas} \cdot \text{h}} = 10^{-3} \text{mole}/\text{dm}^3 \; \text{h}\]
y 
\[\Phi_0 = \dfrac{10^{-3} \text{mol}/\text{dm}^3 \; h }{2 \times 0.2 \times 10^{-3} \text{mol}/\text{dm}^3 \cdot 10^{-5} \text{cm}^2/s \times (3600 s)/h} \cdot L^2 = 70 \; L^2 \; \text{cm}^{-2}\]
Observe la conversi\'on de segundos a horas en el \'ultimo paso.
}
\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Supongamos que el gel es completamente efectivo de tal manera que la concentraci\'on de ox\'igeno se reduce a cero cuando el ox\'igeno llega al centro del gel, es decir $C=0$ at $z=1$. ¿Cu\'al es el grosor del gel en este caso?
\end{question}
\end{framed}
\textcolor{blue}{Desde (\ref{cartilageprofile}) vemos que $\Phi_0=1$, de modo que ahora usando la definici\'on de $\Phi_0$:
\[ \Phi_0 =1 =70 \; \text{cm}^{-2}\; L^2\]
y por lo tanto $L=0.12$ cm. 
}
\begin{framed} 
\begin{question}[name=Ejercicio]
Luego suponga que la concentraci\'on m\'inima de ox\'igeno para que las c\'elulas sobrevivan es $0.1$ mm/$\text{dm}^3$, que es la mitad que en la superficie, es decir $C(1)=0.5$. ¿Cu\'al es el grosor del gel en este caso?
\end{question}
\end{framed}
\textcolor{blue}{ Desde (\ref{cartilageprofile}) vemos que
\[\Phi_0 = 0.5 = 70 \; \text{cm}^{-2}\; L^2\]
y por lo tanto $L=0.085$ cm o $850$ microns. 
}
}


\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{Davis2013}
M. E. Davis, \textit{Numerical Methods and modeling for chemical engineers}. Mineola, New York: Courier Corporation, 2013. 

\bibitem{Carberry2001}
J. J. Carberry, \textit{Chemical and catalytic reaction engineering}. Mineola, New York: Courier Corporation, 2001. 


\bibitem{Baumann2017}
R. L. Baumann, \textit{Diffusion and Reaction in a Catalyst Pellet}. Wolfram Demonstrations Project, \url{http://demonstrations.wolfram.com/DiffusionAndReactionInACatalystPellet/}. Published October 31, 2017.

\bibitem{Fogler2010}
H. Scott Fogler, \textit{Elements of Chemical Reaction Engineering}. Westford, Massachusetts: Pearson Education, 2010.  

\bibitem{Thiele1939}
E. W. Thiele, \textit{Relation between catalytic activity and size of particle}. Industrial and Engineering Chemistry, 31, 916--920, 1939.

\teacher{
\bibitem{ES19porosity}
E. Stachura (2019), ``9-010-S-TravelingWaves," \url{https://www.simiode.org/resources/6296}.
}
\end{thebibliography}


\teacher{
\section*{COMENTARIOS}
Recomendamos que los estudiantes trabajen en este problema despu\'es de haber estado expuestos a ecuaciones de segundo orden. Esperamos que este problema sea de inter\'es para los estudiantes de qu\'imica o ingenier\'ia qu\'imica. El an\'alisis num\'erico se puede agregar si se desea, en particular en
Ejercicio 6. Adem\'as, los \'ultimos ejercicios son algo complicados, por lo que lo hemos dejado como opcional y no lo incluiremos en la versi\'on del alumno. Es posible que los estudiantes necesiten ayuda para integrar las funciones trigonom\'etricas hiperb\'olicas, pero les sugerimos que les permitan hacerlo en la computadora. Hay mucha informaci\'on para que los estudiantes analicen en este proyecto. En particular, hemos dise\~nado las preguntas de tal manera que los estudiantes necesitan \emph{leer con significado} para encontrar los datos \'utiles. Tambi\'en hemos decidido no incluir una derivaci\'on de la conservaci\'on de la ecuaci\'on diferencial de masa. El razonamiento para esto es que el problema ya es t\'ecnico y bastante complicado. Sin embargo, ser\'ia una adici\'on interesante a este proyecto que los estudiantes deriven la ecuaci\'on diferencial (ver \cite{Fogler2010}).



%Finally, we have included another problem on calculating gel thickness for knee joint replacements. This can be included at the discretion of the instructor. We have left it out though due to the already complicated nature of the problem students are solving in this activity. 


%\begin{thebibliography}{99}
%
%
%\bibitem{ES19porosity}
%E. Stachura (2019), ``9-010-S-TravelingWaves," \url{https://www.simiode.org/resources/6296}.
%
%
%\end{thebibliography}
%\bibitem{2012Kerckhove} Kerckhove, M. 2012. {\it From Population Dynamics to Partial Differential Equations}. The Mathematica Journal, 14, 18pp.
%
%\bibitem{1994Holmes} Holmes, E. E., Lewis, M. A., Banks, J. E., and Veit, R. R. 1994. {\it Partial Differential Equations in Ecology: Spatial  Interactions and Population Dynamics}. Ecology, 75 (1), pp. 17--29. 
%
%\bibitem{2014Roos} Roos, A. 2012. {\it Modeling Population Dynamics}. Course notes. 222pp. 

%\bibitem{Gause1934} Gause, G.~F. 1971. {\it The Struggle for Existence}. New York:  Dover Publications, Inc. First published in 1934 by The Williams \& Wilkins Company and available completely on the world wide web at \url{http://www.ggause.com/Contgau.htm}. Accessed  31 March 2008
%
%
%\bibitem{Hutchinson1978a} Hutchinson, G. Evelyn. 1978. {\it Introduction to Population Ecology\/}. New Haven CT:  Yale University Press.


}






\end{document}
