% SIMIODETemplate-TeacherORStudent.tex and simiode.cls for LaTeX2e
% Version 29 July 2015.
% 
% This class (simiode.cls) is a modification of that used by 
% the journal PRIMUS - Problems, Resources, and Issues in 
% Mathematics Undergraduate Studies. 
% 
% See http://www.tandfonline.com/loi/upri .
% 
% The class was developed by  Marc Frantz with suggestions of the 
% PRIMUS Editorial Board, especially John Thoo.
%
% This template is to be used with the  class file "simiode.cls". 
%  
% The latest version of this class and template files 
% can be found at
% 
%       <http://www.SIMIODE.org> in the Author section.
%
% A "Quick Start Guide" appears below.
%
% This file must be processed with version LaTeX2e or higher.
%
\documentclass{simiode-spanish-di}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% With this version of the tex file and the associated SIMIODE.cls file you can produce BOTH a Student Version and a Teacher Version of your modeling scenario or technique narrative.
%
% Basically the Student Version contains the title STUDENT VERSION along with the NAME OF SCENARIO, with no abstract, no keywords, no tags, no author identifiers, and no COMMENTS section. The Student Version contains only the STATEMENT of the modeling scenario with appropriate figures, data, instructions, and perhaps a bibliography appropriate for student resourcing, but nothing in the bibliography which would "give away" the nature of the modeling scenario, etc.
%
%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
%
% Authors can prepare a full Teacher Version using the notions immediately below  to create a pdf for review (but in review please eliminate all information about the author as we use a double-blind referee system. Such information will be restored when accepted and published in SIMIODE at www.simiode.org.
%
%***********   Toggle the following line to turn the teacher version on (1) or off (0). ***********
%
%
\def\TeacherEdition{0} % Toggle this line's value.
\newcommand{\teacher}[1]{\ifnum\TeacherEdition=1 #1 \fi}
%
%
% The \teacher{ } command wraps any text that will appear only in the teacher version of
% the document. See this file for examples. This has been done for you in the document below.   
% Rename the pdf after you compile each final version.
% This option was created  by Eric Sullivan, Carroll College, Helena MT.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
%\usepackage{hyperref}

%%REQUIRED PACKAGES FOR SPANISH TRANSLATION
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish,es-tabla]{babel}

%%RENEWING COMMAND TO PRINT TRANSLATION CREDITS INSIDE \author COMMAND
\renewcommand{\and}{\\}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NOTE regarding double spacing %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Manuscripts should be submitted doubled spaced.  This is 
% accomplished via the \baselinestretch command below.
% However, you may obtain an idea of how your article will 
% look in final form, so that you can better plan your 
% presentation.  To see your manuscript formatted very 
% similarly to the on-line published format of  SIMIODE, 
% comment the following line out by inserting a percent sign % (%) at its beginning.

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% NOTE regarding macros %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Any macros defined for your paper should be contained in 
% the top matter. Likewise, any environment definitions such 
% as \newtheorem or \newenvironment should also go in the 
% top matter. 
% 
% Do not \input your macros as separate files within your 
% final version because more files make it harder for the 
% editors and users to keep track of and/or modify and 
% append your paper.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Top matter is above and 
% the beginning of the document below.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\newpage
% You only need to change the NAME OF SCENARIO in the next line and delete the footnote. See above for instructions on toggling from Teacher Version to Student Version.
\title{\ifnum\TeacherEdition=1 VERSIÓN DEL PROFESOR  \else VERSIÓN DEL ESTUDIANTE \fi\\M\&M - MUERTE E INMIGRACIÓN}




\teacher{

\keywords{ecuación de diferencia, ecuación diferencial, estimación de parámetros, simulación, recolección de datos}


\tagwords{primer orden, valor de equilibrio,
M\&M's,   simulación, datos,  muerte, inmigración, modelado}
}




\markboth{M\&M - Muerte e Inmigración}{M\&M - Muerte e Inmigración}




\author{Brian Winkel\\
	Director de SIMIODE\\
	Cornwall NY \teacher{12518} USA\\
	\teacher{BrianWinkel@simiode.org}\\
	\and
	Traducido por Migdonio González\\
	Universidad Tecnológica de Panamá\\
	Ciudad de Panamá, Panamá
}

\makeStitlePDFLaTex


\teacher{
\begin{abstract}
Describimos una actividad en el aula en la que los estudiantes utilizan caramelos M\&M para simular la muerte y la inmigración. Los estudiantes construyen un modelo matemático, normalmente una ecuación lineal de primer orden, de diferencia o diferencial, recogen datos, estiman parámetros y comparan su predicción del modelo con sus datos reales.
\end{abstract}
}

\teacher{

\vspace*{-.1 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-.9 true cm}
\listtags
}



\section*{ENUNCIADO}

Considera una bolsa de caramelos M\&M de tamaño normal, sin maní, sólo normal. Normalmente hay unas 55 piezas en cada bolsa. Son de diferentes colores, pero cada pieza casi siempre tiene una 
``m'' impresa en un lado y no en el otro. Por lo tanto, hay distinciones entre los lados. Hagamos un experimento (un experimento de vida o muerte) con los M\&M. 

\subsection*{Modelo de la muerte}

Cada uno de nosotros llevará a cabo esta simulación en la que los M\&M viven o mueren. Después de abrir la bolsa de caramelos, pongan 50 de las 55 piezas en un pequeño contenedor; un vaso de papel servirá.   Antes de comenzar el experimento, describe lo que crees que va a suceder y ofrece algunas suposiciones que apoyen tu descripción y otras que podrían no tener mucho que ver con lo que tu esperas que suceda.   A menudo, las suposiciones chocan entre sí, así que desglosa las suposiciones hasta su forma más simple, es decir, no utilices palabras como ``y".



\vspace*{.2 true cm} {\bf El Experimento:} 
Sacude suavemente los M\&M's sobre el escritorio (tal vez quieras usar un plato de papel para coger los M\&M's y mantenerlos limpios también). Determinamos para cada M\&M si vive o muere. Si la 'm' aparece en la parte superior este M\&M muere, de lo contrario hay vida para este M\&M. Al morir, debes retirar los M\&M de la población (déjalos a un lado ya que los necesitaremos para otro experimento), cuenta y anota el número de M\&M que sobreviven en la Tabla~\ref{table:BD}, y ahora pon los M\&M de vuelta en su contenedor para la siguiente iteración. Haz esto una y otra vez y anota los resultados.
\begin{itemize}
\item [a)] Establece tus suposiciones acerca de la actividad física. 
\item [b)] Ofrece una descripción de lo que debería suceder. ¿Te animas a hacer una predicción?
\item [c)] En la Tabla~\ref{table:BD} registra lo que pasó y compáralo con lo que pensaste que pasaría. 

\begin{table}[h]
\large
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Modelando la Muerte de M\&M's} \\ \hline\hline
Iteración & \# de M\&M's al inicio de la iteración\\ \hline\hline
0 & \\ \hline
1 & \\ \hline
2 & \\ \hline
3 & \\ \hline
4 & \\ \hline
5 & \\ \hline
6 & \\ \hline
7 & \\ \hline
8 & \\ \hline
9 & \\ \hline
10 & \\ \hline
\end{tabular}
\caption{\label{table:BD} Modelando la muerte de M\&M's.}
\end{center}
\end{table}


\item [d)] Compara tu descripción/predicción con lo que realmente ocurrió.

\item [e)] Indica cuáles de tus suposiciones fueron razonables y desempeñaron un papel en el experimento.
\end{itemize}


\subsection*{Intento de modelar matemáticamente}

Intentemos construir un modelo matemático de esta situación. Supongamos que definimos el número de M\&M's vivos al comienzo de la iteración $n$ como $a(n)$.  ¿Qué valores tomaría $n$?  ¿Qué sería $a(0)$ en este caso? ¿``Sabes'' qué sería $a(1)$?  

Basándote en las observaciones y en tus suposiciones, produce una fórmula razonable para $a(n)$, es decir, ofrece una función discreta $a(n)$, en la única variable, $n$, para $n = 0, 1, 2, \ldots $. 
\begin{itemize}
\item [f)] Discute si tu modelo para $a(n)$ es razonable.
\item [g)] ¿Cómo medirás tu ``éxito'' como modelador en esta situación? Comprueba con los demás alumnos de la clase y mira si estás bien encaminado con tu modelo.
\item [h)] Adelante, comprueba lo bueno que es tu modelo en la predicción de tu experimento y defiende tu razonamiento.
\end{itemize}



\section*{Modelo de muerte con inmigración}

Cada uno de nosotros llevará a cabo esta simulación en la que los M\&M's viven o mueren, pero esta vez permitiremos que la inmigración recupere los daños causados a la población de M\&M's por las muertes. De nuevo, pon 50 de las 55 y pico piezas en tu taza. Antes de comenzar el experimento, describe lo que crees que sucederá y ofrece algunas suposiciones que apoyen tu descripción y otras que podrían no tener mucho que ver con lo que esperas que suceda.   A menudo, las suposiciones chocan entre sí, así que desglosa las suposiciones hasta su forma más simple, es decir, no uses palabras como ``y".

 

\vspace*{.2 true cm} {\bf El Experimento:} Sacude suavemente los M\&M's sobre el escritorio. Tal vez quieras usar un plato de papel para coger los M\&M's y mantenerlos limpios también. Luego determina para cada M\&M si vive o muere.
Recuerda, si la 'm' se muestra en la parte superior este M\&M muere, de lo contrario hay vida para este M\&M. Al morir, debes retirar los M\&M de la población (déjalos a un lado ya que los necesitaremos para otro experimento).

\vspace*{.4 true cm}

\begin{center}
\parbox{10 true cm}{MUY IMPORTANTE:  Además de poner los M\&M's que sobrevivieron de nuevo en la taza, agreguemos 10 inmigrantes EN CADA GENERACIÓN. Puedes usar los de tu ``pila de muerte".  Haz esto una y otra vez y registra tus resultados.}
\end{center}
 \vspace*{.1 true cm}


\begin{itemize}
\item [i)] Establece tus suposiciones acerca de la actividad física. 
\item [j)] Ofrece una descripción de lo que debería suceder. 
\item [k)] En la Tabla~\ref{table:BDI} registra lo que pasó y compáralo con lo que pensaste que pasaría. 

\item [l)] Compara tu descripción/predicción con lo que realmente ocurrió.

\item [m)] Indica cuáles de tus suposiciones fueron razonables y desempeñaron un papel en el experimento.
\end{itemize}


\subsection*{Intento de un modelo matemático}

Intentemos construir un modelo matemático de esta situación. Supongamos que definimos el número de M\&M's vivos al comienzo de la iteración $n$ como $b(n)$.  ¿Qué valores tomaría $n$?  ¿Qué sería $b(0)$ en este caso? ¿``Sabes'' lo que sería $b(1)$?  

Basándote en las observaciones y tus suposiciones, genera una fórmula razonable para $b(n)$, es decir, ofrece una función discreta $b(n)$, en la única variable, $n$, para $n = 0, 1, 2, \ldots $.

\begin{itemize}
\item [n)] Discute si tu modelo para la función $b(n)$ es razonable.
\item [o)] ¿Cómo medirás tu ``éxito'' como modelador en esta situación? Comprueba con los demás alumnos de la clase y mira si estás bien encaminado con tu modelo.
\item [p)] Adelante, comprueba lo bueno que es tu modelo en la predicción de tu experimento y defiende tu razonamiento.
\item [q)]  Compara el proceso y los resultados en los dos modelos: (1) la muerte y (2) la muerte con la inmigración. ¿Qué fue diferente en estos modelos? Explica.
\end{itemize}


\begin{table}[!h]
\large
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Modelando la Muerte de M\&M's} \\ \hline\hline
Iteración & \# de M\&M's al inicio de la iteración\\ \hline\hline
0 & \\ \hline
1 & \\ \hline
2 & \\ \hline
3 & \\ \hline
4 & \\ \hline
5 & \\ \hline
6 & \\ \hline
7 & \\ \hline
8 & \\ \hline
9 & \\ \hline
10 & \\ \hline
\end{tabular}
\caption{\label{table:BDI} Modelando la Muerte e Inmigración de M\&M's.}
\end{center}
\vspace*{-.7 true cm}
\end{table}


\vspace*{-.5 true cm}
\section*{Otro enfoque:  modelando cambio}

Fue difícil, casi imposible, llegar directamente a una fórmula modelo para el modelo de muerte e inmigración, es decir, producir una fórmula para $b(n)$. Así que pensemos en cómo pasamos de generación en generación. Parecemos bastante confiados en que en cada iteración perdemos cerca de la mitad de nuestros M\&M's (de nuevo, ¿por qué es así?), pero luego añadimos 10 M\&M's como inmigrantes. Tu deberías ser capaz de saber cómo se ve la generación $n+1$, $b(n+1)$, en términos de la generación $n$ , $b(n)$, e inmigración. Intenta predecir $b(n+1)$ en términos de $b(n)$ e inmigración. Rellena lo siguiente:


\vspace*{-.3 true cm}
$$b(n+1) = \rule{7 true cm}{.1 mm} \,.$$

\vspace*{-.3 true cm}
\noindent ¿Qué fue fácil y qué fue difícil al tratar de determinar qué poner al lado derecho de la expresión anterior para $ b (n + 1) $? Vale la pena detenerse aquí en esta actividad de modelado inicial para saborear los momentos de descubrimiento y frustración y aprender de ellos. Entonces, reflexiona por un momento sobre lo que has logrado y lo que necesitaste para hacer exactamente eso: construir un modelo matemático.

No es irrazonable proponer varias posibilidades. Aquí hay varias. Explica lo que no es bueno de cada una. Trata de poner cada uno de estos modelos mal concebidos en palabras y compáralos con tu propia comprensión del proceso físico de lanzamiento y migración de M\&M's.

\vspace*{-.7 true cm}

\begin{eqnarray*}
b(n+1) &=& 10*b(n) + .5\\
b(n+1) &=& 0.5*10*b(n) \\
b(n+1) &=& 0.5*b(n+1) + 10\\
b(n+1) &=& -0.5*b(n) + 10\\
b(n+1) &=& b(n+1)^n + 10\\
b(n+1) &=& (b(n+1)+10)^n + 10\\
\end{eqnarray*}



Digamos lo que queremos que el modelo haga en voz alta para nosotros mismos: ``El valor de $ b(n + 1) $ debe ser la mitad de $ b(n) $ debido a la muerte, más 10 debido a la inmigración. "¿Esa oración se traduce directamente en matemáticas para ti? ¿Cómo se ve (\ref{eq:update}) como una traducción matemática?

\vspace*{-.2 true cm}
\begin{equation}\label{eq:update}
b(n+1) = 0.5*b(n) + 10 \, . 
\end{equation}

Otra forma de ver (\ref{eq:update}) es modelar el {\it cambio\/} en cada generación y podemos hacerlo restando $ b (n) $ de cada lado de (\ref{eq:update}) para obtener la ecuación,

\begin{equation}\label{eq:dif}
b(n+1) - b(n) = 0.5*b(n) - b(n) + 10  = -0.5 b(n) + 10 \, . 
\end{equation}

\noindent La ecuación (\ref{eq:dif}) se conoce como {\it ecuación en diferencias\/}. Ahora traduce (\ref{eq:dif}) en una oración y mira cómo te queda.



A menudo reemplazamos $ b(n + 1) - b(n) $ por los símbolos $\Delta b(n)$ para `` cambio en $b(n)$. '' Por lo tanto (\ref{eq:dif}) podría escribirse de esta manera:

\vspace*{-.3 true cm}
\begin{equation}\label{eq:dif2}
\Delta b(n) = -0.5 b(n) + 10 \, . 
\end{equation}

En las tres ecuaciones, (\ref{eq:update}), (\ref{eq:dif}) y (\ref{eq:dif2}), necesitamos decirle a nuestro modelo dónde comenzar, es decir, $b(0) = 50$, porque esa es la cantidad de M\&M's que teníamos en la taza al comienzo del experimento. Cada uno de estos tres pares de ecuaciones se puede denominar como una ecuación en diferencias con condición inicial. De hecho, reconocemos que al igual que en el cálculo donde podemos tener derivadas de {\it primer\/} y {\it segundo grado\/}, tendríamos ecuaciones en diferencias de {\it primer\/} y {\it segundo grado\/}. Nos ocuparemos de esto último en futuras actividades. El hecho de que tengamos una expresión lineal en $b(n)$ en el lado derecho de (\ref{eq:dif2}) sugiere que llamemos a tal ecuación {\it lineal\/}. Entonces, vemos que una buena manera de modelar nuestra actividad de muerte e inmigración es con una {\it ecuación en diferencias lineal de primer orden con condición inicial\/}. Eso es un trabalenguas, pero ahora deberías ver que cada uno de estos términos tiene significado.

\subsection*{Resolviendo nuestra ecuación en diferencias lineal de primer orden con condición inicial}

Una cosa que podríamos hacer es usar un programa de hoja de cálculo, como {\it Excel\/}, para permitirnos iterar (\ref{eq:update}) en la Figura~\ref{fig:1-1-ModelingOneFirstIteration}. Ya podemos ver algo sobre el comportamiento a largo plazo de nuestro modelo que parece coincidir con lo que vimos con nuestro experimento. ¿De qué se trata?


\begin{figure}[h]
\centering

\includegraphics[width=7cm]{1-1-ModelingOneFirstIteration.eps}


\vspace*{-3.6 true cm}
\caption{\label{fig:1-1-ModelingOneFirstIteration} Usando la hoja de cálculo {\it Excel\/} para iterar (\ref{eq:update}).}
\end{figure}
 Si estuviéramos en {\it Mathematica\/} podríamos usar el poderoso comando {\tt RSolve},

\centerline{\tt RSolve[\{b[n + 1] == 1/2 b[n] + 10, b[0] == 50\}, b[n], n]}\, 

\noindent para obtener la solución para $b(n)$,
\vspace*{-.5 true cm}

$$b(n) = 20 + 15*2^{(1-n)} \, .$$
O podríamos conjeturar una solución, digamos de la forma $b(n) = k_1 + k_2 2^{(1-n)}$ y luego usar la información inicial y la primera iteración para determinar $k_1$ and $k_2$.
 
Notamos que el comportamiento a largo plazo visto en nuestra Tabla~\ref{table:RSolve} parece coincidir con las iteraciones de {\it Excel\/} que se encuentran en la Figura~\ref{fig:1-1-ModelingOneFirstIteration}.

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Solución de {\tt RSolve} para (\ref{eq:update})} \\ \hline\hline
$n$ & $b(n)$ \\ \hline\hline
 0. & 50.0000 \\ \hline
 1. & 35.0000 \\ \hline
 2. & 27.5000 \\ \hline
 3. & 23.7500 \\ \hline
 4. & 21.8750 \\ \hline
 5. & 20.9375 \\ \hline
 6. & 20.4688 \\ \hline
 7. & 20.2344 \\ \hline
 8. & 20.1172 \\ \hline
 9. & 20.0586 \\ \hline
 10. & 20.0293 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{\label{table:RSolve} Usando el comando {\tt RSolve} de {\it Mathematica\/} para resolver  (\ref{eq:update}).}
\end{table}

\section*{Pasando a un modelo de ecuación diferencial}


Examinemos la ecuación (\ref{eq:dif}), la cual se repite a continuación.
Consideramos las perspectivas de modelar este sistema discreto con algunas matemáticas continuas que involucran no solo diferencias, sino también derivadas.

\setcounter{equation}{1}
\begin{equation} \label{eq:secondtime}
b(n+1) - b(n)   = -0.5*b(n) + 10 \, . 
\end{equation}

Supongamos que, en lugar de incrementos generacionales de 1, es decir, que van de $n$ a $n+1$, íbamos en incrementos de tiempo de $\Delta n$, e.g., $\Delta n = 0.01$. En este caso, no perderíamos la mitad de nuestra población en un intervalo de tiempo de 1. Más bien perderíamos esta fracción, $(\Delta n)*0.5$, de nuestra población en un pequeño intervalo de tiempo de longitud $\Delta n$. 
Además, no agregaríamos 10 inmigrantes en un intervalo de tiempo de 1, es decir, pasar de $n$ a $n+1$, sino que agregaríamos $(\Delta n)*10$ inmigrantes en un intervalo de tiempo de longitud $\Delta n$. ¿Qué suposiciones acerca de nuestro proceso estamos haciendo cuando decimos estas cosas?)  Esto generaría una nueva ecuación, donde nuevamente $b(n)$ es el tamaño de la población en el momento $n$:

\setcounter{equation}{3}
 \begin{equation}\label{eq:diff}
b(n+\Delta n) - b(n)   = -(\Delta n)*0.5*b(n) + \Delta n*10 \, . 
\end{equation}

\noindent Con la introducción de $\Delta n$ percibimos la cercanía de la musa del cálculo, ya que podríamos tomar nuestros cambios de población aproximados en intervalos de tiempo cada vez más pequeños de longitud $\Delta n$. De hecho, en (\ref{eq:diff})  podríamos dividir ambos lados por $\Delta n$

 \begin{equation}\label{eq:quo}
\frac{b(n+\Delta n) - b(n)}{\Delta n}   = -0.5*b(n) + 10 \, , 
\end{equation}

\noindent y en (\ref{eq:quo}) tomamos el límite como $\Delta n \to 0$, es decir, ~tomamos incrementos de tiempo cada vez más pequeños durante los cuales mueren M\&M's y se da la inmigración. Esto resulta en (\ref{eq:DiffEq})

 \begin{equation}\label{eq:DiffEq}
\frac{db}{dn} = \lim_{\Delta n \to 0}\frac{b(n+\Delta n) - b(n)}{\Delta n}   = -0.5*b(n) + 10 \, . 
\end{equation}

\vspace*{.2 true cm}
Esto se llama {\it ecuación diferencial\/} y si agregamos una condición inicial, en este caso, $b(0) = 50$, tenemos en (\ref{eq:IVP}) lo que se llama un {\it problema de valor inicial (PVI)\/}.


\begin{equation}\label{eq:IVP}
\frac{db}{dn} = \lim_{\Delta n \to 0}\frac{b(n+\Delta n) - b(n)}{\Delta n}   = -0.5*b(n) + 10 \, , \quad b(0) = 50\,  . 
\end{equation}

\vspace*{.2 true cm}
Tradicionalmente, cuando se estudian ecuaciones diferenciales dependientes del tiempo, la variable $t$ se usa para el tiempo, digamos en segundos u horas. En consecuencia, escribimos nuestra ecuación diferencial como un PVI (\ref{eq:IVPt})


\begin{equation}\label{eq:IVPt}
b'(t) = \frac{db}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{b(t+\Delta t) - b(t)}{\Delta t}   = -0.5*b(t) + 10 \, , \quad b(0) = 50\,  , 
\end{equation}


\noindent o simplemente como (\ref{eq:IVPFt}) y nos referimos a ésta como una  {\it ecuación diferencial lineal de primer orden con condición inicial\/}.

\begin{equation}\label{eq:IVPFt}
b'(t) =   -0.5*b(t) + 10 \, , \quad b(0) = 50\,  . 
\end{equation}

Ahora, ¿qué se supone que debemos hacer con esto? Bueno, esto, en parte, es de lo que se trata nuestro esfuerzo, es decir, resolver ecuaciones diferenciales o llegar a $b(t)$. Vimos lo difícil que era `` adivinar '' una solución en el caso discreto para $b(n)$ de (\ref{eq:dif2}) y será igual de difícil adivinar qué es $b(t)$ de (\ref{eq:IVPFt}).



\subsection*{Una poderosa estrategia de solución para resolver ecuaciones diferenciales y PVIs}

\ldots bueno, al menos para el PVI (\ref{eq:IVPFt}).

Una estrategia es recurrir a la tecnología, en este caso {\it Mathematica\/}, y emplear su poder, específicamente para usar el comando {\tt DSolve} para obtener una solución al instante. (¿Ves las partes del comando y la sintaxis en funcionamiento?) Hagámoslo ahora.

\vspace*{.15 true cm}

 \centerline{\tt DSolve[\{b'[t] == -1/2 b[t] + 10, b[0] == 50\}, b[t], t]}

\vspace*{.15 true cm}

\noindent que producirá


\vspace*{-.15 true cm}
\begin{equation}\label{eq:ODE1}
b(t) = 20 + 30 e^{-t/2} \, .
\end{equation}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline\hline
$n$ or $t$ & $b(n)$ & $b(t)$ \\ \hline\hline
 0. & 50.0000 & 50.0000 \\ \hline
 1. & 35.0000 & 38.1959 \\ \hline
 2. & 27.5000 & 31.0364 \\ \hline
 3. & 23.7500 & 26.6939 \\ \hline
 4. & 21.8750 & 24.0601 \\ \hline
 5. & 20.9375 & 22.4625 \\ \hline
 6. & 20.4688 & 21.4936 \\ \hline
 7. & 20.2344 & 20.9059 \\ \hline
 8. & 20.1172 & 20.5495 \\ \hline
 9. & 20.0586 & 20.3333 \\ \hline
 10. & 20.0293 & 20.2021 \\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.4 true cm}{\caption{\label{table:Compare}Comparando los resultados de nuestro modelo discreto de ecuación en diferencias ($b(n)$, $n = 0, 1, 2, \ldots, 10$) (\ref{eq:dif}) con nuestro modelo continuo de ecuación diferencial ($b(t)$, $t \ge 0$) (\ref{eq:IVPFt}) .}}
\end{center}
\end{table}

En la Tabla ~\ref{table:Compare} comparamos la solución iterada con nuestro modelo discreto de ecuación en diferencias que encontramos en {\it Excel} ($ b (n) $ para $ n = 0, 1, 2, \ ldots 10 $) con la solución de {\it Mathematica\/} a nuestro modelo continuo de ecuación diferencial para $ b (t) $, $ t \ge 0 $.

Hay una ligera diferencia en los valores iniciales para $ n = t = 1, 2, 3, 4, 5 $, pero luego ambos modelos parecen ``establecerse'' y se dirigen hacia el mismo valor de aproximadamente 20. ¿Qué nos dice esto?


\subsection*{Pasando a una nueva realidad}


Digamos ahora que estamos estudiando un organismo (digamos un microorganismo en una placa de Petri) y perdemos el 50\% de la población cada hora, pero a través de una escotilla unidireccional pueden ingresar unos 10 microorganismos por hora en nuestra placa de Petri.   Tómate un momento para modelar esta situación con (a) un modelo discreto de ecuación en diferencias y (b) un modelo continuo de ecuación diferencial , asegurándote de identificar variables y unidades. 
¿Cuáles son los pros y los contras de cada modelo cuando consideramos tales situaciones?  

Escriba el modelo discreto a la izquierda y el modelo continuo a la derecha. Debajo de los modelos, discuta los pros y los contras de cada uno para modelar esta situación.

\teacher{
\section*{COMENTARIOS}


Todo lo enunciado previo a estas sección, ES la información y el conjunto de instrucciones para los estudiantes y se puede encontrar en un documento separado 1-1-SM\&M-DeathImmigration-StudentVersion-Spanish.pdf, solo que en la versión para estudiantes no hay identificación del autor, resumen o conjunto de palabras clave/etiquetas. Estos COMENTARIOS son para el profesor/docente.

Esta actividad de modelado debería tomar menos de 30 minutos para llevarse a cabo en clase. A menudo, esta es una de las primeras actividades de modelado en clase, por lo que les damos a los estudiantes varios días de clase para hacer su redacción, con una discusión en clases de seguimiento sobre temas como la comunicación y las matemáticas para la redacción. Puede ser suficiente para los propósitos individuales del profesor hacer solo uno de los modelos, por ejemplo, solo muerte o muerte e inmigración, para transmitir los puntos esenciales del modelado.

En el segundo modelo, para muerte e inmigración, ofrecido a los estudiantes hubo un ligero cambio,

\begin{quote}
Nuevamente, comience con 50 M{\&}M en su taza y realice el mismo experimento que
arriba, solo ESTA VEZ después de cada lanzamiento debes agregar 10 M{\&}M (SIEMPRE 10 en cada
iteración) al conjunto de M{\&}M's vivas de tu grupo de reserva. A esto le llamaremos \textit{inmigración}.
\end{quote}

Pida a los alumnos que describan lo que sucede en su simulación. Pronto ven que el modelo de población con muerte E inmigración nunca llega realmente a cero, de hecho, justo como parece que podría estar llegando a cero, nuestra regla dice: `` agregue 10 M{\&}M's (SIEMPRE 10 en cada iteración). "Por lo tanto, no diríamos que la población va a 0, y de los datos, tampoco diríamos que la población va a 20. De hecho, parece ir a 20 o asentarse alrededor de 20 en la mayoría de las iteraciones, y luego ¡Sigue y sigue y sigue! Es una buena idea interrumpir la clase y dejar que resuman su progreso y un buen momento para hacerlo es cuando comienzan a construir este segundo modelo de `` inmigración '' después de recopilar los datos.


Esta es una actividad muy buena para permitir la introducción de la noción de {\it Valor de Equilibrio\/}, es decir, ~ sus datos parecen llegar a 20 y aproximadamente se mantienen en 20. ¿Hay algún valor, digamos VE, tal que cuando estamos en VE en la próxima iteración o generación, nos encontramos nuevamente en VE en este modelo, es decir ~ ¿podemos encontrar VE de manera tal que ${\rm VE} = \frac{1}{2}{\rm VE} + 10$?  Esto es álgebra y resolvemos que VE obtenga ${\rm VE} = 20$ --  el valor por el que parecen estar bailando sus simulaciones.


Los estudiantes pueden desarrollar el modelo de inmigración $a_{n+1} =  \frac{1}{2}a_n + 10$ con $a_0 = 50$ para $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ iterarlo a mano (o en Excel) para comparar la predicción del modelo con los datos. Un enfoque similar es desarrollar el modelo de ecuación en diferencias $\Delta a_n=a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2}a_n + 10$  o si los estudiantes están listos para ello, el modelo de ecuación diferencial , $a'(t) = -\frac{1}{2} a(t) + 10$, ambos con estrategias de solución y condiciones iniciales de $a_0 = 50$ o $a(0) = 50$, respectivamente.

Si uno está interesado en enseñar las soluciones de forma cerrada para el enfoque de diferencias o ecuación diferencial, los estudiantes pueden comparar los resultados analíticos con los datos. La solución de forma cerrada de la ecuación de diferencias es $a_n = 20(1 +   2^{2-n})$ mientras que la solución comparable para la ecuación diferencial es $a(t) = 20 (1- e^{-t/2})$. Si uno está enseñando técnicas de solución analítica, entonces la enseñanza de la estrategia de solución analítica (por ejemplo, separación de variables o factor integrador en el caso de ecuaciones diferenciales) después de esta actividad de modelado que está motivada por el análisis de datos y la estimación de parámetros, por ejemplo, si se supone $a'(t) = - k a(t) + 10$, es decir, si no se supone que la tasa de mortalidad es 50\% o $k = 0.5$. Por supuesto, la estrategia de solución analítica podría preceder a la actividad de modelado para reforzar el uso del modelo analítico. Ésa es decisión del docente.


En los archivos llamados

\qquad \qquad 1-1-M\&M-PureDeathSimulationImageData.pdf (and .ppt)    and

\qquad \qquad  1-1-M\&M-Death-ImmigrationSimulationImageData.pdf (and .ppt) 

\noindent ofrecemos a los estudiantes la oportunidad de recopilar datos de una simulación que realizamos y para la cual ofrecemos diapositivas generacionales con las M\&M's removidas y las M\&M's inmigrantes  instaladas en cada generación, según corresponda. Aquí los estudiantes pueden recopilar los datos de la pantalla si una simulación física con M\&M's reales (delicioso) no es posible o factible. 

\subsection*{Conclusión}

Mediante la simulación física de una población `` real '', los estudiantes recopilan datos para un modelo matemático de los fenómenos y luego comparan los resultados de los modelos con los datos. La oportunidad es rica con muchos paralelos con el modelado en el mundo real y los estudiantes pueden ver en cada paso, los supuestos, la recopilación de datos, el modelado y las comparaciones. Recomendamos al lector que pruebe esta actividad y que quizás le agregue algo.



\subsection*{Agradecimientos}

La esencia y el detalle de este enfoque aparecen con todo detalle en \cite{WinkelMM2010}. Reconocemos y apreciamos los comentarios de muchos, muchos colegas que han probado este enfoque y actividad en su enseñanza y han enriquecido la discusión. El proyecto NUNCA FALLA en involucrar, enseñar e interesar a los estudiantes, y a menudo sirve como una primera introducción a gran escala al modelado y la tecnología en el estudio de ecuaciones diferenciales.

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{WinkelMM2010} Winkel, B. J. 2010. Population Modeling with M\&M's.  {\it International Journal of Mathematical Education in Science and Technology\/}. 40(4): 554-558.


\end{thebibliography}

}
\end{document}
