% SIMIODE-TeacherStudent-Template.tex and simiode.cls for LaTeX2e
% Version 22 November 2016.
% 
% This template is to be used with the  class file "simiode.cls". 
%  
% The latest version of this class and template files 
% can be found at
% 
%       <http://www.SIMIODE.org> in the Author section.
%
% A "Quick Start Guide" appears below.
%
% This file must be processed with version LaTeX2e or higher.
% Appreciation to Mark Frantz, IUPUI; John Thoo, Yuba College; and Eric Sullivan, Carroll College.
%
\documentclass{simiode-czech}
%
% With this version of the tex file and the associated SIMIODE.cls file you can produce BOTH a Student Version and a Teacher Version of your modeling scenario or technique narrative.
%
% Student Version contains the title STUDENT VERSION along with the NAME OF SCENARIO, with no abstract, no keywords, no tags, no author identifiers, and no COMMENTS section. The Student Version contains only the STATEMENT of the modeling scenario only with appropriate figures, data, instructions, and perhaps a bibliography appropriate for student resourcing, but nothing in the bibliography which would "give away" the nature of the modeling scenario, etc.
%
%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
%
% Authors can prepare a full Teacher Version using the notions immediately below  to create a pdf for review, but in review please eliminate all information about the author as we use a double-blind referee system. Such information will be restored when accepted and published in SIMIODE at www.simiode.org.
%
%***********   Toggle the following line to turn the teacher version on (1) or off (0). ***********
%
\def\TeacherEdition{0} % Toggle this line's value.
\newcommand{\teacher}[1]{\ifnum\TeacherEdition=1 #1 \fi}
%
% The \teacher{ } command wraps any text that will appear only in the teacher version of
% the document. See this file for examples. This has been done for you in the document below.   
% Rename the pdf after you compile each final version.
%
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{url}
%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
%
% NOTE regarding macros %%
%
% Any macros defined for your paper should be contained in 
% the top matter. Likewise, any environment definitions such 
% as \newtheorem or \newenvironment should also go in the 
% top matter. 
% 
% Do not \input your macros as separate files within your 
% final version because more files make it harder for the 
% editors and users to keep track of and/or modify and 
% append your paper.
%
% Top matter is above and the beginning of the document below.
%
\begin{document}

\newpage
%
% You only need to change the NAME OF SCENARIO in the next line and delete the footnote. 
% See above for instructions on toggling from Teacher Version to Student Version.
%
\title{\ifnum\TeacherEdition=1 UČITELSKÁ VERZE  \else STUDENTSKÁ VERZE \fi\\Světová populace }



\teacher{
    \keywords{světová populace, míra růstu, odhad parametrů, modelování, predikce}

\tagwords{data, metoda nejmenších čtverců, diferenciální rovnice, 1. řádu, nelineární}.
}

\markboth{Modelování světové populace s proměnnou mírou růstu}{Modelování světové populace s proměnnou mírou růstu}

\author{Lenka P\v{r}ibylov\'{a},  Jan \v{S}ev\v{c}\'{i}k, Pavel Morcinek a Brian Winkel\\
\'{U}stav matematiky a statistiky\\ 
P\v{r}\'{i}rodov\v{e}deck\'{a} fakulta\\
Masarykova univerzita\\
Brno, \v{C}esk\'{a} republika\\
\teacher{pribylova@math.muni.cz}
}

\makeStitlePDFLaTex

\teacher{
\begin{abstract}
Tvorba modelů světové populace s využitím odhadu míry růstu.
\end{abstract}
}

\teacher{
\vspace*{-.2 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-.9 true cm}
\listtags
}

\section*{TÉMA PROJEKTU}

Úkolem je vytvořit obecný model růstu světové populace pomocí diferenciální rovnice.

Označme $N(t)$ velikost světové (lidské)  populace v čase $t$ v letech. Dále bude $r(t)$ představovat  míru růstu této populace (procentuální růst populace) v čase $t$. Odtud dostaneme změnu velikosti světové populace za období $\Delta t$:
\begin{equation}
N(t+\Delta t) = N(t) + r(t)\cdot N(t) \cdot \Delta t\, .
\label{eq:first}
 \end{equation}

\noindent  {\bf Otázka 1.} Vysvětlete slovně model (\ref{eq:first}).
 
Tento vztah můžeme přepsat do tvaru
\begin{equation}\label{eq:second}
\frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t} =   r(t)\cdot N(t)\, .
 \end{equation}
a limitním přechodem $\Delta t  \rightarrow 0$ dostaneme diferenciální rovnici
 \begin{equation}\label{eq:third}
\frac{dN}{dt} =   r(t)\cdot N(t)\, .
 \end{equation}
 
Abychom zjednodušili zápis, vynecháme v zápise funkce $N(t)$ argument a budeme psát pouze $N$. Míra růstu $r(t)$ je neznámá fukce času $t$, kterou odhadneme  pomocí lineární a nelineární regrese. 

Data pro odhad míry růstu světové populace uvádí tabulka~\ref{table:RateData} a jsou zobrazena na obrázku~\ref{fig:RatePlot}. Pocházejí ze zdroje \cite{Meter2020}.


\begin{table}[h]
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$r_0$  \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}    0.0207	  \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}    0.0197	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0179	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0180	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0181	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0153\\ \hline
World pop  \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}3,700,437,046 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}4,079,480,606  \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}4,458,003,514  \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}4,870,921,740 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}5,327,231,061 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}5,744,212,979\\ \hline
Year  \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  1970 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  	1975 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  	1980	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  1985	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  1990	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  1995\\ \hline
	\end{tabular}	
\vspace*{.2 true cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$r_0$   \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0133 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  	0.0126	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0124 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  	0.0119	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  0.0105\\ \hline
World pop \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}6,143,493,823 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}6,541,907,027 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}6,956,823,603 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}7,379,797,139 \hspace{-.15 true cm} & \hspace{-.15 true cm}7,794,798,739\\ \hline
Year 	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  2000	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  2005	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  2010	 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  2015 \hspace{-.2 true cm} & \hspace{-.2 true cm}  	2020\\ \hline
	\end{tabular}	
	
	
\caption{\label{table:RateData}  Velikost a míra růstu světové populace v čase. Zdroj \cite{Meter2020}.}									
\end{center} 
\end{table}


\begin{figure}[h!]\label{fig:RatePlot}
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{01cz.png}}
            	\caption{Zobrazení měnící se roční míry růstu světové populace $r(t)$ vs.~$t$ (v letech). }		
	\end{center}	
\end{figure}		




\noindent  {\bf Otázka 2.} Předpokládejme, že roční míra růstu světové populace je konstatní, řekněme $r$. Z dat v tabulce~\ref{table:RateData} navrhněte odhad $r$. Vytvořte model růstu velikosti světové populace. Jak se bude chovat do budoucna?

Na základě uvedených dat můžeme také předpokládat, že míra růstu světové populace NEBUDE konstatní. Pokusíme se proto vytvořit funkci $r(t)$, která by popisovala tuto měnící se míru růstu. Z~obrázku~\ref{fig:RatePlot} můžeme předpokládat například následující funkční předpisy:



\noindent  {\bf Otázka 3.} Oddůvodněte tvar pro každého ze dvou kandidátů na měnící se míru růstu světové populace $r(t)$.
\begin{itemize}
\item [(a)]  $r(t) = a_0 + a_1 t$,
\item [(b)]  $r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 \sin\left(\frac{2 \pi t}{L} + a_3\right) $\, .   
\end{itemize}

\noindent kde $L \approx 30$ udává průměrný věk matky při narození dítěte.


\noindent  {\bf Otázka 4.} Ukažte, že řešením (\ref{eq:third}) je (\ref{eq:FirstSol}).

\begin{equation}\label{eq:FirstSol}
N(t) = N(t_0)\cdot e^{\left(\int_{t_0}^t\, r(\tau) d\tau\right)}.
\end{equation}
  

Budeme předpokládat, že v roce $t_0 = 2019$ bylo na planetě Zemi 7.714 miliard obyvatel, t.j.~ $N(2019) = 7.714$ miliard. 

\subsection*{První model pro $r(t)$}

Nejprve budeme předpokládat míru růstu tvaru  $r(t) = a_0 + a_1 t$.  

\noindent  {\bf Otázka 5.} Ukažte, že pokud odhadneme míru růstu jednoduchou lineární regresí, bude populační model tvaru (\ref{eq:LinearShape}).
\begin{equation}\label{eq:LinearShape}
N(t) = N(t_0) \frac{e^{a_0 t + a_1\frac{t^2}{2}}} {e^{a_0 t_0 + a_1\frac{t_0^2}{2}}}\, .
\end{equation}
 
\noindent  {\bf Otázka 6.} Pro odhad parametrů $a_0$ a $a_1$  použijte metodu nejmenších čtverců. Odhadnuté hodnoty parametrů $a_0$ a $a_1$ použijte v (\ref{eq:LinearShape}) a vykreslete model světové populace do roku 2200. 

Výsledný model světové populace by měl vypadat podobně jako na obrázku~\ref{fig:LinearRatePlot}. Také ho tak máte? Vysvětlete, co obrázek ukazuje. Je to dobrý model? Proč? Na základě obrázku~\ref{fig:LinearRatePlot} určete, kdy bude světová populace dosahovat maxima.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{03cz.png}}
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{\label{fig:LinearRatePlot} Vykreslení odhadu světové populace pro míru růstu (a) $r(t) = a_0 + a_1 t$ s nejlepšími odhady hodnot  $a_0$ a $a_1$.}}
		
	\end{center}
	
\end{figure}	


\subsection*{Druhý model pro $r(t)$}
V druhém modelu budeme předpokládat, že $r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 \sin\left(\frac{2 \pi t}{L} + a_3\right) $.
 
 
\noindent  {\bf Otázka 7.} Ukažte, že pokud odhadujeme míru růstu světové populace touto složitější funkcí $r(t)$, pak je populační model tvaru (\ref{eq:NonLinearShape}).
\begin{equation}\label{eq:NonLinearShape}
N(t) = N(2019) {{\rm e}^{\frac {-30\,{a_2}\,\cos \left( \tfrac{1}{15}\,\pi\,t+
{ a_3} \right) -30\,{ a_2}\,\sin \left( \tfrac{\pi}{10}+{ a_3} \right) +
\pi\, \left( t-2019 \right)  \left( { a_1}\,t+2\,{ a_0}+2019\,{
 a_1} \right) }{2\pi}}}.
\end{equation}
 
\noindent  {\bf Otázka 8.} K odhadu parametrů $a_0$, $a_1$,  $a_2$, a $a_3$  použijte metodu nejmenších čtverců. Získané odhady parametrů $a_0$, $a_1$,  $a_2$, and $a_3$  použijte v (\ref{eq:NonLinearShape}) a vykreslete model světové populace do roku 2200. 


Výsledný model světové populace by měl vypadat podobně jako na obrázku~\ref{fig:NonLinearRatePlot}. Také ho tak máte? Vysvětlete, co obrázek ukazuje. Je to dobrý model? Proč? Na základě obrázku~\ref{fig:NonLinearRatePlot} určete, kdy bude světová populace dosahovat maxima.

\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{05cz.png}}
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{	\label{fig:NonLinearRatePlot} Vykreslení odhadu světové populace pro míru růstu (b) $r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 \sin\left(\frac{2 \pi t}{L} + a_3\right) $ s nejlepšími odhady hodnot $a_0$ a $a_1$.}}
	\end{center}
	
\end{figure}	


\noindent  {\bf Otázka 9.} Pokuste se navrhnout jiné funkce $r(t)$ a oddůvodnit svůj návrh. Použijte svůj návrh k~podobné analýze a predikci velikosti světové populace. 

\noindent  {\bf Otázka 10.} Vykreslete a porovnejte nakonec predikce budoucí světové populace pro všechny čtyři modely založené na různých $r(t)$: konstantní míra růstu, model (a), model (b) a poslední vámi navržený model. Co si myslíte o budoucnosti světové populace na základě těchto analýz?




\section*{Další modely}
Uvažujme také další modely pro $r(t)$:
\begin{itemize}
\item [(c)] $r(t) = a_0 + a_1\cdot N(t)$, logistický model,
\item [(d)] $r(t) = a \left( \frac{N(t)}{A}- 1\right)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$, model s Alleeho efektem.
\end{itemize}

Model (c), logistický model, je model, ve kterém $r(t) = r(N(t)) = a_0 + a_1\cdot N(t)$ je růstový koeficient  funkcí velikosti populace $N(t)$. Dostáváme tak model světové populace ve tvaru (\ref{eq:logistic}):

\begin{equation}\label{eq:logistic}
\frac{dN}{dt} =   r(t)\cdot N(t) =  (a_0 + a_1\cdot N(t))\cdot N(t)\, .
\end{equation}

\noindent  {\bf Otázka 11.} Poté co substitucí z modelu (c) $r(t) = a_0 + a_1\cdot N(t)$ do  diferenciální rovnice (\ref{eq:third}) dostanete konkrétní logistický model, vyřešte tuto rovnici pro funkci $N(t)$ a ověřte, že dostanete:

\begin{equation}\label{eq:LogisticSolve}        
N(t) =\frac{0,00002284080266}{{ 1,748185649\cdot 10^{20}}\,{{\rm e}^{-
 0,02990992151\,t}}+ 0,000001922576988 }
 .
\end{equation}



\noindent  {\bf Otázka 12.} Funkci růstového koeficientu $r(t) =  a_0 + a_1\cdot N(t)$ můžeme odhadnout pomocí lineární regrese z dat v tabulce~\ref{table:RateData}. Zkuste to a ukažte, že nejlepší odhad koeficientů je $a_0= 0,0293993$ a $a_1=-0,00245444$.


\vspace*{.3 true cm}
\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{07cz.png}}
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{	\label{fig:RatePlotVersusN} Vykreslení odhadu míry růstu (c) $r(t) = a_0 + a_1 N(t) $ s nejlepšími odhady hodnot $a_0$ a $a_1$.}}
	\end{center}
	\end{figure}	
\vspace*{.3 true cm}


\vspace*{.3 true cm}
\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{08cz.png}}
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{	\label{fig:LogisticModel} Vykreslení odhadu světové populace pro míru růstu (c) $r(t) = a_0 + a_1 N(t)$ s nejlepšími odhady hodnot $a_0$ a $a_1$.}}
	\end{center}
	\end{figure}	
\vspace*{.3 true cm}

\noindent  {\bf Otázka 13.} Ukažte, že se velikost světové populace lidí ,,ustálí`` na 11,8 miliardách.

Pro tento model populace nebude nikdy klesat, protože jsme zvolili klesající funkci $r(N(t))$ (lineární) a proto čím bude velikost populace vyšší, tím pomaleji poroste. Čím menší je koeficient růstu, tím menší je růst populace, tedy růst bude zpomalovat, ale nikdy zcela neustane. Takový model může sloužit například k odhadu kapacity prostředí, v tomto případě okolo 11,8 miliard lidí.

\bigskip

Nyní se budeme zabývat posledním modelem (d). Poprvé popsal tento model v roce 1930's Warder Clyde Allee a podle něj je pojmenován. Allee na experimentálních studiích ukázal, že růst populace karase zlatého je rychlejší, když je v rezervoáru více jedinců \cite{WikiAllee}. Vyvodil z toho, že agregace jednotlivců může zvýšit míru přežití populace a že spolupráce může hrát podstatnou úlohu v~celkovém vývoji sociální struktury populace. V modelu s Alleeho efektem  je $a$ přirozená míra růstu populace, $K$ je kapacita prostředí a  $A$ je kritická nebo Alleeho prahová hodnota.

Dočteme se, že: ,,Tento graf je příkladem silného Alleeho efektu, kde má populace zápornou hodnotu míry růstu pro $0 < N(t) < A$ a tudíž může dojít k vyhynutí, kladnou míru růstu pro $A < N(t) < K$ (předpokládáme $0 < A < K$). V případě slabého Alleeho efektu je růst populace pod určitým prahem pouze zpomalen v tempu růstu. Alleho efekt je dobře pozorován u malých populací, protože populace nad touto hranicí už vykazují spíše logistický růst. Protože měřená velikost světové populace nikdy nebyla pod takto nízkým prahem, neexituje žádný výzkum, který by se zabýval dopadem Alleeho efektu na světovou populaci, ale Alleeho efekt byl pozorován pro mnoho druhů, hlavně zvířat, která jako skupina loví kořist nebo se brání proti predátorům.''\cite{Rhea2020}

%new part
Z matematického pohledu jde ovšem o odhad $r(N)$ jako kvadratické funkce proměnné $N$, který můžeme udělat i z dat za touto hranicí\footnote{Touto hranicí je hodnota, ve které má parabola své maximum.}. Pro takový odhad je dat v tabulce~\ref{table:RateData} příliš málo a je třeba použít všech 70 měření velikosti světové populace od roku 1951 do roku 2020. Tato data lze nalézt na \cite{Population}. Kvadratický odhad míry růstu $r(N)$, pak dává světový model populace tvaru
\begin{equation}\label{eq:Allee}
\frac{dN}{dt} =   a \left( \frac{N(t)}{A}- 1\right)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right) \cdot N(t) \, . 
\end{equation}


\noindent  {\bf Otázka 14.} Funkci růstového koeficientu  $r(t) =a_0 + a_1\cdot N(t) + a_2 \cdot (N(t))^2$
% $ = a \left( \frac{N(t)}{A}- 1\right)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$ 
můžeme odhadnout pomocí lineární regrese z dat na \cite{Population} nebo v souboru population.xlsx. Zkuste to a ukažte, že nejlepší odhad koeficientů je $a_0= 0.016645$, $a_1=1.938243 \cdot 10^{-12}$ a $a_2=-3.693209 \cdot 10^{-22}$. Porovnejte váš výsledek s obrázkem~\ref{fig:Allee}.

\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\scalebox{.6}{\includegraphics{09cz.png}} %upravit obrázek
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{\label{fig:Allee} Vykreslení odhadu pro míru růstu $r(t) =a_0 + a_1\cdot N(t) + a_2 \cdot (N(t))^2$ s nejlepšími odhady hodnot  $a_0$, $a_1$ a $a_2$.}}
	\end{center}	
\end{figure}	


\noindent  {\bf Otázka 15.} Poté co substitucí z modelu (c) $r(t) = a_0 + a_1\cdot N(t) + a_2 \cdot (N(t))^2$ do  diferenciální rovnice (\ref{eq:Allee}) dostanete konkrétní model. Použijte numerickou metodu k odhadu řešení $N(t)$ s počáteční podmínkou $N(2019)=7.714$ a ověřte, že dostanete graf \ref{fig:Allee}.

\vspace*{.3 true cm}
\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\scalebox{.5}{\includegraphics{10cz.png}} %upravit obrázek
            	\parbox{8.5 true cm}{\caption{\label{fig:Allee}  Vykreslení odhadu světové populace pro míru růstu (d)  $r(t) =a_0 + a_1\cdot N(t) + a_2 \cdot (N(t))^2$ s nejlepšími odhady hodnot  $a_0$, $a_1$ a $a_2$.}}
	\end{center}	
\end{figure}
\vspace*{.3 true cm}

\noindent  {\bf Otázka 16.} Ukažte, že pro tento model (d) se velikost světové populace lidí ,,ustálí`` na 9,83 miliardách.

\begin{thebibliography}{98}

\bibitem{Meter2020} Current World Population. \href{https://www.worldometers.info/world-population}{https://www.worldometers.info/world-population}, přístup 24. 1. 2020.

\bibitem{Population} World Population by Year. \href{https://www.worldometers.info/world-population/world-population-by-year/}, přístup 24. 1. 2020.

\bibitem{Rhea2020} Project Rhea. 2020. Logistic Models. \href{https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Logistic\_Models}{https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Logistic\_Models}, přístup 28. 1. 2020.

\bibitem{WikiAllee} Wikipedia contributors. (2020, January 25). Allee effect. In {\it Wikipedia, The Free Encyclopedia\/}.  \href{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Allee\_effect\&oldid=937563935}{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Allee\_effect\&oldid=937563935}, přístup 28. 1. 2020. 

\end{thebibliography}

\teacher{
\section*{KOMENTÁŘE}

\subsection*{Výsledná predikce pro případ (a) $r(t) = a_0 + a_1 t$} 
Po substituci odhadnutých parametrů dostáváme predikci
 \begin{equation}\label{eq:Result1}
N(t) = 7,714 \frac{e^{0,430088 t - 0,000208\frac{t^2}{2}}} {e^{0,430088\cdot 2019-0,000208\frac{2019^2}{2}}}\, .
\end{equation}

Odpovídající růst světové populace ukazuje obrázek~\ref{fig:LinearRatePlot}.  Na základě modelu (a) $r(t) = a_0 + a_1 t$ předpovídáme, že světová populace dosáhne maxima pro $r(t_{max}) = a_0 + a_1 t_{max} =0 $  tedy pro $t_{max}=-\tfrac{a_0}{a_1} \doteq 2069,54$, což je asi polovina roku 2067. Populace poté začne klesat. Toto maximum je asi 10 miliard obyvatel .

\subsection*{Výsledná predikce pro případ (b) $r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 \sin\left(\frac{2 \pi t}{L} + a_3\right) $} 
Odhad parametrů je $a_0 \doteq 0,460475$,  $a_1 \doteq  -0,223 \cdot 10^{-3}$,  $a_2 \doteq  0,818 \cdot 10^{-3}$ a $a_3 \doteq -0,17292$. Po substituci odhadnutých parametrů dostáváme predikci
 \begin{equation}\label{eq:Result2}
N(t) = 7.714\,{{\rm e}^{- 0.003905561962\,\cos \left(  0.2094395103\,t
- 0.1729195155 \right) - 475.0976010- 0.0001115217392\,{t}^{2}+
 0.4604754430\,t}}
\end{equation}

Odpovídající růst světové populace ukazuje obrázek~\ref{fig:NonLinearRatePlot}.  Na základě modelu (b) $r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 \sin\left(\frac{2 \pi t}{L} + a_3\right) $ předpovídáme, že světová populace dosáhne maxima asi 9.717 miliard obyvatel kolem roku 2061 a poté začne klesat.

\subsection*{Výsledná predikce pro případ (c) $r(t) = a_0 + a_1 N(t)$}
Odhad parametrů je $a_0= 0,0293993$ a $a_1=-0,00245444$. Po substituci odhadnutých parametrů dostáváme predikci
 \begin{equation}\label{eq:Result3}
N(t) =\frac{0,00002284080266}{{ 1,748185649\cdot 10^{20}}\,{{\rm e}^{-
 0,02990992151\,t}}+ 0,000001922576988 }
\end{equation}

Odpovídající růst světové populace ukazuje obrázek~\ref{fig:LogisticModel}.  Na základě modelu (c) $r(t) = a_0 + a_1 N(t)$ předpovídáme, že se světová populace bude blížit maximu asi 11,88 miliard obyvatel.

\subsection*{Výsledná predikce pro případ (d) $r(t) = a_0 + a_1 N(t) + a_2 N(t)^2$}

Odhad parametrů je $a_0= 0.016645$, $a_1=1.938243 \cdot 10^{-12}$ a $a_2=-3.693209 \cdot 10^{-22}$. Po substituci odhadnutých parametrů můžeme řešení odhadnout např. metodou Runge-Kutta.

Odpovídající růst světové populace ukazuje obrázek~\ref{fig:Allee}.  Na základě modelu (d) $r(t) = a_0 + a_1 N(t)+ a_2 N(t)^2$ předpovídáme, že se světová populace bude blížit maximu asi 9,83 miliard obyvatel, vykazuje slabý Alleho effekt (práh $A=-4,58$ miliard).

Poskytujeme Maple worksheet SIMIODE - WorldPopulation - CZECH Version.mw  a jeho pdf verzi SIMIODE - MAPLE - WorldPopulation - CZECH Version.pdf pro ty, kteří nemohou číst soubory programu Maple.
 

}
\end{document}
