% SIMIODETemplate-TeacherORStudent.tex and simiode.cls for LaTeX2e
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\documentclass{simiode-spanish}

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%The Teacher Version contains the material in the Student Version, namely the title NAME OF SCENARIO, now headed with   TEACHER VERSION, but also full author  identification, abstract, key words, tag words, and, following the STATEMENT, a section of COMMENTS which can be discussion of presentation  ideas, "solutions," techniques, etc.
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\begin{document}

\newpage
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\title{\ifnum\TeacherEdition=1 TEACHER VERSION \else STUDENT VERSION \fi\\WATER FLOWING FROM TANK}




\teacher{
    \keywords{flujo, tanque de columna, apertura, Ley de Torricelli, datos}

\tagwords{Agua, primer orden, ecuación diferencial, Conservación de Energía, estimación de parámetros}
}



\markboth{Agua Fluyendo de un Tanque}{Agua Fluyendo de un Tanque}




\author{Brian Winkel\\
	Director de SIMIODE\\
	Cornwall NY \teacher{12518} USA\\
	\teacher{BrianWinkel@simiode.org}\\
	\and
	Traducido por Migdonio González\\
	Universidad Tecnológica de Panamá\\
	Ciudad de Panamá, Panamá
}
\makeStitlePDFLaTex
 


\teacher{
\begin{abstract}
Ayudamos a los estudiantes a desarrollar un modelo (Ley de Torricelli) para la altura de una columna de agua que cae, con un pequeño agujero en el recipiente en la parte inferior de la columna de agua a través del cual el agua sale de la columna. Ofrecemos varias fuentes de simulaciones en YouTube, desde las cuales se pueden recopilar datos y pedir a los estudiantes que verifiquen su modelo a través de la estimación de parámetros.
\end{abstract}
}

\teacher{

\vspace*{-.1 true cm}
\listkeywords

\vspace*{-.9 true cm}
\listtags
}
\section*{ENUNCIADO}



En la Figura~1 vemos una captura de pantalla de un video de un experimento \cite{Alicante2013} para mostrar y medir la altura (cm) de una columna de agua en un cilindro graduado en el tiempo (s) cuando hay un pequeño agujero en la parte inferior del cilindro a través del cual sale el agua. El tiempo transcurrido es de 29 s mientras que el nivel del agua es de 17.5 cm. La tabla~\ref{table:Alicante1} muestra datos de la misma ejecución del experimento en el que la columna de agua tenía 35 cm de altura originalmente, es decir, cuando $t = 0$.


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=6cm]{1-15-TorricelliAlicante.eps}


\vspace*{-3.5 true cm}
\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorriccelliAlicante} Captura de pantalla \cite{Alicante2013} de un video de un experimento para mostrar y medir la altura (cm) de una columna de agua en un cilindro graduado en tiempo (s) cuando hay un pequeño orificio en la parte inferior del cilindro a través del cual el agua sale. }}
\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}


\begin{table}[]

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Tiempo (s) & Altura (cm) \\ \hline
0 & 35 \\ \hline
8 & 30 \\ \hline
16 & 25 \\ \hline
25 & 20 \\ \hline
35.5 & 15 \\ \hline
48.7 &10 \\ \hline
66.8 & 5\\ \hline
\end{tabular}

\caption{\label{table:Alicante1} Datos de tiempo vs. altura para el experimento de la columna de agua (cuarta corrida) de \cite{Alicante2013}.}
\end{center}
\end{table}

Finalmente, ofrecemos una gráfica (Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliAlicantePlot}) de la data en la Tabla~\ref{table:Alicante1}.

\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliAlicantePlot.eps}


\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliAlicantePlot} Gráfica de la data en la Tabla~\ref{table:Alicante1}. }}
\vspace*{-.5 true cm}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item [(1)] Forma un modelo matemático para la altura del agua en la columna de la Tabla~\ref{table:Alicante1} y compáralo con tus datos. ¿Qué tan bueno es tu modelo? Tu física? ¿Qué medida usarás?
\end{itemize}


\section*{Derivación del Modelo a partir de los Primeros Principios}


Examinamos un modelo basado en los primeros principios, no solo en el ajuste empírico. Dada una columna de agua en un cilindro con un pequeño agujero en la parte inferior del cilindro a través del cual sale el agua, ¿cuánto tiempo lleva vaciar el cilindro hasta el nivel del agujero? Más específicamente, si se nos da el área de la sección transversal del cilindro en función de la altura y el área del pequeño orificio en la parte inferior del cilindro, podemos modelar el flujo de salida del agua del cilindro.

Repasemos algunos antecedentes básicos de física. Primero consideramos una ley de física que nos puede ayudar. La Ley de Conservación de la Energía dice que la suma de la energía potencial y la energía cinética de una partícula de masa $m$ es constante, es decir, se conserva la energía total. Entonces, si consideramos una partícula de agua de masa $m$ inicialmente sobre un cilindro de agua, unos $h$ metros por encima de una pequeña abertura de bordes afilados en la pared lateral del cilindro a través de la cual el agua puede salir del cilindro, esta masa de agua tiene energía potencial inicial $PE_i=m\cdot  g\cdot  h$, donde $g$ es la aceleración debida a la gravedad, y la energía cinética inicial $\frac{1}{2}m v_i^2$ ($KE_i$), donde $v_i$ es la velocidad inicial de la masa. Por lo tanto, tenemos una energía total inicial de $TE_i$ cuando la masa de agua está en la parte superior del cilindro de agua:
\begin{equation*}
 TE_i = KE_i + PE_i = \frac{1}{2} m v_i^2 + m g h\, . 
\end{equation*} 

Cuando esta masa de agua alcanza la abertura, tiene una altura de 0 metros sobre la abertura y una velocidad final de $v_f$. Por lo tanto, la energía total en el instante final ($TE_f$) que la masa alcanza la apertura es
\begin{equation*}
 TE_f = KE_f + PE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 + m g\cdot 0 = \frac{1}{2} m v_f^2  \, . 
\end{equation*}
Ahora, por la Ley de Conservación de Energía sabemos que $TE_i = TE_f$ y por lo tanto tenemos 
\begin{equation*}
\frac{1}{2} m v_i^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_f^2 \, ,
\end{equation*}
que cuando uno despeja $v_f$ produce $v_f = \sqrt{2 g h + v_i^2}$. En particular, si nuestro elemento de masa de agua estaba en reposo inicialmente, es decir, $v_i$ = 0, tenemos la clásica Ley de Torricelli.

\begin{equation*}
v_f = \sqrt{2 g h} \, ,
\end{equation*}
donde $v_f$ es la velocidad del elemento de masa de agua cuando sale de la abertura en el cilindro.

En particular, podemos usar esta velocidad de un elemento de agua en la parte inferior del cilindro dada la altura de la columna de agua en el cilindro, $h$, para hacer una contabilidad en el cambio del volumen de la columna de agua en el tanque en el tiempo $t$ y, por lo tanto, la altura de la columna de agua, $h(t)$, en el tanque en el tiempo $t$.
Igualamos dos formas de calcular el cambio en el volumen de agua en el tanque al tiempo $t$.

\begin{equation}\label{eq:way1}
A(t) h'(t)
\end{equation}
donde $A(h(t))$ es el área de la sección transversal de la columna a la altura $h(t)$, a menudo constante, entonces $A = A(h(t))$ en nuestro caso, y
\begin{equation}\label{eq:way2}
v_f\cdot a  \cdot \alpha= \sqrt{2 g h} \cdot  a\cdot \alpha
\end{equation}
donde $v_f$ es la velocidad del agua que sale de la columna de agua cuando el agua está a la altura $h(t)$, $a$ es la sección transversal del pequeño orificio a través del cual sale el agua, y $\alpha$ es un número empírico que indica el porcentaje del caudal máximo que realmente atraviesa el orificio pequeño, la reducción debida a la fricción y la constricción en el orificio pequeño. $\alpha$, se llama {\it descarga o coeficiente de contracción\/}.

Ahora igualando (\ref{eq:way1}) y (\ref{eq:way2}) da lugar a una versión funcional de la Ley de Torricelli para la altura de una columna de agua de sección transversal constante, $h(t)$, en tiempo $t$:
\begin{equation}\label{eq:Torricelli}
A(h(t))\cdot h'(t) =- a \alpha  \sqrt{2 g h(t)} \, ,
\end{equation} 
donde $h(t)$ es la altura de la columna de agua en el tiempo $t$. Observa el signo negativo en el lado derecho de (\ref{eq:Torricelli}) cuando el agua sale de la columna de agua.

Si despejamos $h'(t)$ y observamos que $A(h(t)) = A$, combinando todas las constantes excepto $g$ en una gran constante, $b$, tenemos

\begin{equation}\label{eq:Torr}
h'(t) = - b \sqrt{g h(t)}
\end{equation}

\begin{itemize}
\item [(2)] 
Resuelva (\ref{eq:Torr}) para $h(t)$ si conocemos la altura inicial de la columna de agua, es decir, $h(0) = h_0$ y suponemos que el área de la sección transversal de la columna de agua en altura $h$ es constante.
\end{itemize}




\subsection*{Modelando el flujo de salida de un cilindro de agua}

 Supongamos que tenemos un cilindro de altura $0.20$ m y radio $0.05$ m y está lleno de agua. Hay una abertura en el costado del cilindro en la parte inferior del cilindro en forma de un círculo afilado de radio $r = 0.01$ m.
 
Empíricamente, se sabe que si bien el área de la abertura es $\pi r^2 = \pi (.01)^2$ m$^2$, el área efectiva para el flujo de fluido a través de la abertura es solo una fracción del área . Esa fracción, $\alpha$, se llama {\it descarga o coeficiente de contracción\/}. Supongamos que $\alpha = 0.7$, que es un valor razonable de la literatura para varias formas y tamaños de apertura. 

Ahora construimos una ecuación diferencial para determinar la altura del agua en el cilindro en función del tiempo, $h(t)$ en metros, en este caso. Para hacer esto, necesitamos usar la contabilidad!!. Esto demostrará ser una buena manera de construir modelos, es decir, calcular cierta cantidad de dos maneras diferentes e igualar los dos cálculos diferentes entre sí. Si los cálculos involucran derivadas, ¡hemos construido una ecuación diferencial!

Entonces, calculemos, de dos maneras diferentes, la tasa a la que cambia el volumen de agua en el momento $t$. Haremos esto para un área de sección transversal general de nuestro cilindro en función de la altura, $A(h(t))$. 

\begin{itemize}
\item [(L)] En el tiempo $t$, un pequeño elemento de altura cambió, $h'(t)$, sobre un área de sección transversal $A(h(t))$. Por lo tanto, habremos perdido
\begin{equation}\label{eq:slab}
A(h(t))\cdot h'(t)
\end{equation}
 volumen de agua. En nuestro caso, para nuestro cilindro circular de radio constante 0.05 m, tenemos el siguiente cálculo:
\begin{equation}
A(h(t))\cdot h'(t) = \pi (.05)^2 h'(t)
\end{equation}
\item [(R)]  
Dado que el agua está saliendo de la abertura con una velocidad (de acuerdo con la Ley de Torricelli) de $\sqrt{2 g h(t)}$ m / s y el área de la sección transversal de nuestra abertura es $a = \pi r^2 = \pi (.01)^2$ m$^2$ entonces estamos perdiendo agua a una tasa de
\begin{equation}\label{eq:opening}
\alpha a \sqrt{2 g h(t)} = \alpha \pi r^2 \sqrt{2 g h(t)} = .7 \pi (.01)^2 \sqrt{2 g h(t)} \quad {\rm m}^3{\rm /s}\, ,
\end{equation} 
donde recordamos que el área efectiva para el flujo de fluido a través de la abertura es solo una fracción ($\alpha = .7$) del área. 
\end{itemize}
Ahora, si equiparamos los cálculos para la pérdida de agua encontrada en (\ref{eq:slab}) con la calculada en (\ref{eq:opening}) obtenemos la siguiente ecuación diferencial (sumando nuestra altura inicial $h(0) = h_0 = 0.20$ m como condición inicial):
\begin{equation}\label{eq:changevol}
A(h(t))\cdot h'(t)= \alpha\, a \sqrt{2 g h(t)}\, ,\quad h(0) = h_0
\end{equation}
en general, y en nuestro caso, usando $g = 9.8$ m/s$^2$,
\begin{equation}\label{eq:drain}
\pi (.05)^2 h'(t)= .7 \pi (.01)^2 \sqrt{2 (9.8) h(t)}\, , \quad h(0) = 0.20\, .
\end{equation}

Notamos que podríamos recopilar todas las constantes en (\ref{eq:drain}) en la constante $b$ dentro del signo de raíz cuadrada y escribir:
\begin{equation}\label{eq:bcon}
h'(t) = -b \sqrt{ g \cdot h(t)} \, .
\end{equation}
Aquí $ b =\displaystyle{\frac{ .7 \pi (.01)^2}{\pi (.05)^2} \sqrt{2}} = 0.039598$.

\begin{itemize}
\item [(3)] Resuelva la ecuación diferencial~(\ref{eq:bcon}) (asegúrate de elegir la rama correcta de la solución) y determina cuánto tiempo lleva vaciar el cilindro de agua. Grafica la altura $h(t)$ en función del tiempo, $t$, durante la duración del drenado. 
\item [(4)] Supongamos que $\alpha = 0.6$ en lugar de $0.7$, ¿cuánto tiempo llevaría vaciar el cilindro de agua? Grafica la altura $h(t)$ en función del tiempo, $t$, durante la duración del drenado. Compara esta respuesta y la gráfica con las de (a). Explica por qué esto es razonable?
\item [(5)] Continuando con (3), determina la velocidad de la superficie del agua y grafícala durante la duración del drenado. Explica por qué lo que ves es razonable.
\end{itemize}

Ahora juguemos algunos juegos de ``qué pasaría si'' con nuestro modelo.


\begin{itemize}
\item [(6)] Varía el radio de la {\it apertura\/}, $r$, y determina el tiempo $T(r)$ en el que $h(T(r)) = 0$ para cada r, es decir, el tiempo $T(r)$ para vaciar el tanque en función de $r$. Grafica $T(r)$ y comenta sobre su razonabilidad. Usa $\alpha = 0.7$ y los mismos parámetros que en la discusión anterior.
\item [(7)] Varía el radio del {\it cilindro\/}, $r$, en (3) y determina el tiempo $TT(r)$ en el que $h(TT(r)) = 0$ para cada r, es decir, el tiempo $TT(r)$ para vaciar el tanque en función de $r$. Grafica $TT(r)$ y comenta sobre su razonabilidad. Usa $\alpha = 0.7$ y los mismos parámetros que en (3) arriba.
\item [(8)] Supongamos que el tanque de agua tenía la forma de un cono truncado recto, es decir, cambiamos el radio de la base circular inferior, lo llamamos $s$, fuera (o adentro) del radio original. Nuevamente tenemos un cilindro de agua de altura $h_0 = 0.2$ m, un radio de $0.05$ m en la parte superior del cilindro, una abertura de radio $0.01$ m en la parte inferior del cilindro, pero la base del cilindro ahora es un círculo con radio $s$ m. Usa $\alpha = 0.7$ aquí, también. Recopila algunos datos sobre cuánto tiempo lleva vaciar el cilindro para valores de $s$ en la región $s \in [0, 0.2]$, digamos, e intenta crear una función que modele el tiempo que toma drenar el cilindro en función del radio inferior, $s$. NB: Si $s = 0.2$ ya hemos hecho este análisis, ya que este es el caso del área de sección transversal constante. Explica por qué tu función obtenida ofrece una relación razonable. Por cierto, si $s=0$ tenemos un cono invertido.

\end{itemize}


  
\section*{Dos fuentes de Datos para la Confirmación del Modelo}

Uno podría recolectar datos con un modesto aparato conformado por un cilindro graduado con un pequeño orificio cerca de la parte inferior y un reloj, todo en el cuadro de video a la vez para ver la altura y la hora al mismo tiempo. Sin embargo, vamos a varias fuentes en la web para videos y recolectamos datos.


Una fuente de datos es de los experimentos de física de la Universidad de Alicante \cite{Alicante2013}. En la marca 3:41 del video 10:58 hay una cuarta serie de recopilación de datos de agua que sale de un cilindro graduado de sección transversal circular constante con radio 1.68 cm. La altura inicial del líquido en el tubo es $h = 35$ cm.

\begin{itemize}
\item [(9)]
Aquí están los datos que recopilamos de nuestra primera fuente de video \cite{Alicante2013}. ¿Cómo se compara con el tuyo? ¿Qué tan bien puedes modelar este conjunto de datos? Ofrece un análisis para determinar los parámetros de su modelo. Compara datos con el modelo.

\begin{table}[]\label{table:Alicante}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Tiempo (s) & Altura (cm) \\ \hline
0 & 35 \\ \hline
8 & 30 \\ \hline
16 & 25 \\ \hline
25 & 20 \\ \hline
35.5 & 15 \\ \hline
48.7 &10 \\ \hline
66.8 & 5\\ \hline
\end{tabular}

\caption{Datos de tiempo vs. altura para el experimento de la columna de agua (FourthTrial) de \cite{Alicante2013}.}
\end{center}

\vspace*{-.5 true cm}
\end{table}
\end{itemize}

Una segunda fuente de datos es el video \cite{Masooraahs2011}. Aquí, vemos cuatro ensayos de recopilación de datos del agua saliendo de un cilindro graduado de sección transversal circular constante. Los datos provienen del Cuarto Ensayo que comienza a las 5:34 del video 7:23 \cite{Masooraahs2011}. También podemos obtener el radio a las 9:34 en un segundo video \cite{Masooraahs2011a}. Hay una imagen que nos permite estimar el diámetro del cilindro como 19 cm o un radio de 9,5 cm.

\begin{itemize}
\item [(10)]
En la Tabla~\ref{table:FourthTrial} están los datos que recopilamos de nuestra segunda fuente \cite{Masooraahs2011}. ¿Cómo se compara con el tuyo? ¿Qué datos obtuviste de la primera, segunda y tercera prueba? ¿Qué tan bien puedes modelar cada conjunto de datos? Ofrece un análisis para determinar los parámetros de uno de los modelos anteriores. Compara datos con el modelo.

\begin{table}[]

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Tiempo (s) & Altura (cm) \\ \hline
0 & 13 \\ \hline
.58 &  12 \\ \hline
1.35 &  11 \\ \hline
1.95 &  10 \\ \hline
2.85 &  9 \\ \hline
3.65 &  8 \\ \hline
4.55 & 7 \\ \hline
5.55 & 6 \\ \hline
6.55 & 5 \\ \hline
7.55 & 4 \\ \hline
8.55 & 3 \\ \hline
10.45 & 2 \\ \hline
13.45 & 1 \\ \hline

\end{tabular}

\caption{\label{table:FourthTrial} Datos de tiempo vs. altura para el experimento de la columna de agua (FourthTrial) de \cite{Masooraahs2011}.}
\end{center}
\vspace*{-.8 true cm}

\end{table}
\end{itemize}


\section*{Preguntas Adicionales a Considerar}

Aquí hay algunas preguntas adicionales de \cite{KriederLahrDiesel2005}.


\begin{itemize}
\item [(11)]
Supongamos que tenemos un tanque cilíndrico con el área del pequeño agujero en la parte inferior siendo $a$ y el área de la sección transversal del cilindro es $A$.

\begin{itemize}
\item [a)] 
¿Cuánto tiempo toma vaciar el tanque?
\end{itemize}

Para cada uno de los siguientes cambios físicos en el tanque, describe el efecto sobre el tiempo que lleva vaciar el tanque. 

\begin{itemize}
\item [b)] Duplica el área, $a$, del pequeño orificio en la parte inferior del cilindro.

\item [c)] Cambia $g$ considerando que el tanque esté en la Luna. Allí la gravedad es una sexta parte de la de la Tierra.
\end{itemize}
\end{itemize}




\section*{Construyendo un Reloj de Agua}

\begin{itemize}
\item [(12)] Diseña un cilindro de área transversal $A(h)$ a la altura $h$ para que el agua caiga a una velocidad constante. De esta manera, podríamos mostrar intervalos iguales, digamos un cuarto de hora, como distancias verticales iguales, marcando el tiempo a medida que pasa. Para modelar una tasa constante de caída para la altura, $h(t)$, de agua, necesitamos establecer $h'(t) = c$ para alguna constante que deseemos, por ejemplo, 1 centímetro por 15 minutos. Este cilindro-reloj podría marcarse a alturas verticales de 1 cm con el conocimiento de que por cada centímetro que el agua cae han pasado 15 minutos.

Entonces, ¿qué forma debemos elegir? a saber, ¿cuál es el área de la sección transversal a la altura $h$, es decir, $A(h)$, que en realidad nos da una altura en constante disminución en nuestro nivel de agua?

Cuando termines, puedes ir directamente a tu tienda de impresoras 3D y hacer tu propio reloj de agua. 
\end{itemize}




\section*{Fuentes de video para la recolección de datos}



Resumimos nuestras fuentes de datos. 

Usamos dos videos de columnas de agua cayendo, sin información respecto al radio de la abertura en la parte inferior del cilindro. Estos eran de YouTube y los citamos correctamente a continuación. Estos se mencionan en la Actividad 13.

  También construimos un aparato experimental para recopilar datos usando un reloj digital gratuito en una computadora ({\tt www.on-line-stopwatch.com}) que mide y muestra muy bien, en un tamaño de fuente grande y legible, en tiempo real a la milésima de segundo, un contenedor de plástico transparente de agua con gas, un recipiente de recolección para el agua que sale y un iPad para producir videos de los experimentos. Lo hicimos para agujeros pequeños en la parte inferior del cilindro de diámetros 13/16 '', 9/64 '', 11/64 '' y 7/64 ''. En el último caso, utilizamos dos conjuntos de datos: muestreo de toda la ejecución y luego muestreo de una sección más pequeña de la ejecución. Colocamos los siguientes videos para su uso en esta sección para este escenario 1-15-Torricelli en YouTube. Estos se mencionan en la Actividad 14.



\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 1:


Nombre: Ley de Torricelli Vaciado de un dep\'{o}sito 

URL:  {\tt http://www.youtube.com/watch?v=6LOgdOfFAbI} 

 

\vspace*{.3 true cm}

\noindent Fuente 2:



Nombre: Numec project Sem1 2011 THE Massooraahs! 

URL: {\tt http://www.youtube.com/watch?v=44fZdi7QC8E}   




\vspace*{.3 true cm}
Las fuentes 3 a 6 están disponibles en YouTube y en 

{\tt https://www.simiode.org/resources/488}.

\noindent Fuente 3:



Nombre: 13Over64Inch Small Hole 

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=gsNdsuQ1ZCo}  

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=SCNqxFe3eIs}

También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2085}.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 4:



Nombre: 9Over64 Inch Small Hole  

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=gsNdsuQ1ZCo}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=6cUuNUjlaPI}


También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2083}.


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=13cm]{1-15-TorricelliSetUp.eps}

\vspace*{-10.7 true cm}
\parbox{13.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliSetUp} Aparato experimental para recopilar datos sobre el agua que fluye de la columna cilíndrica de agua. De izquierda a derecha vemos una computadora portátil con {\tt www.online-stopwatch.com} funcionando para obtener el tiempo hasta la milésima de segundo más cercana, cilindro circular de agua marcado
(en cm de altura) en forma de un recipiente de una botella plástica de soda, agua que sale a la derecha desde un pequeño orificio de radio de 9/64 '' y un recipiente receptor para el agua que sale del cilindro.}}
\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 5:



Nombre: 11Over64Inch Small Hole  

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=76diQ1eW8i4}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=NBr4DOj4OTE}

También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2087}.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 6:

Nombre: 7Over64 Inch Small Hole 

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=k7TSAqRfHgg}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=xDyDSPydN\_E}\, .

También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2084}.

\begin{itemize}
\item [(13)] y (14) 
Usando uno de los videos de la Fuente 1 o la Fuente 2 y luego uno de los videos de las Fuentes 3-6, recopila datos sobre el tiempo y la altura de la columna de agua y modela, primero con la Regla de la Potencia y luego, si es posible, con la ecuación diferencial de la Ley de Torricelli . Estima todos los parámetros posibles y confirma tu modelo con los datos que has recopilado.
\end{itemize}

\section*{Observaciones iniciales y finales: Te Metes con el Sr.~En el medio}

\begin{itemize}
\item [(15)]
\begin{quote}
Se perfora un pequeño orificio de radio $s = 0.138906$ cm en el costado de un recipiente cilíndrico circular recto de radio $r = 4.16986$ cm y la altura del nivel del agua (por encima del orificio) va desde 12.5 cm en un tiempo de cronómetro de 1: 40.419 min a 3 cm en un tiempo de cronómetro de 2: 34.116 min. Usa dos modelos diferentes para estimar la altura en tiempos intermedios. Estos modelos son (1) modelo lineal: $h'(t) = - k h(t)$, $h(0) =  12.5$ con $h(143.286) = 2.0$ y (2) Ley de Torricelli: $A h'(t) = - \alpha \cdot  a\cdot  \sqrt{2\cdot  g\cdot  h(t)}$, $h(0) =  12.5$ con $h(143.286) = 2.0$. Aquí $A$ es el área de la sección transversal del cilindro y $a$ es el área del pequeño orificio para drenado, mientras que $\alpha$ es el coeficiente de descarga o contracción.

Después de que hayas completado tus análisis, ve al video, titulado 11Over64 Inch Small Hole de este escenario - 1-15-Torricelli, y compara tus observaciones del video con cada una de tu modelo. ¿Qué modelo es el mejor? ¿Por qué?

\end{quote}

\vspace*{.2 true cm}

\noindent Ofrecemos una tabla (Tabla~\ref{table:TorricelliData}) de tiempos de reloj, tiempos relativos y observaciones conocidas. Completa el resto con los resultados de tu actividad de modelado.


\begin{table}[]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
Hora del Reloj & Tiempo Relativo & Lineal & Torricelli & Observado\\
$t$ (min) & $t$ (s)  & $h$ (cm)& $h$ (cm) & $h$ (cm)\\  \hline 
1:40.419 = 100.419 & 0&12.5 & 12.5 & 12.5 \\ \hline
1:45.598 = 105.598 &5.179 & \hspace*{2 true cm} & \hspace*{2 true cm}&  \hspace*{2 true cm} \\ \hline
1:47.568 = 107.788 & 7.369& & & \\  \hline
1:49.623 = 109.523 & 9.104& & &  \\ \hline 
1:50.985 = 110.985 & 10.566 & & & \\  \hline 
1:56.388 = 116,388 & 15.969& & & \\  \hline 
2:02.057 = 122.057 & 21.638& & & \\  \hline 
2:08.032 = 128.032 & 27.613& & &  \\ \hline
2:16.386 = 136.386 & 35.967& & &  \\ \hline
2:25.568 = 145.568 & 45.149& & &  \\ \hline
2:34.116 = 154.286 & 53.867& & &2.0  \\ \hline
\end{tabular}

\parbox{12.1 true cm}{\caption{\label{table:TorricelliData} Hora del reloj y hora relativa para la ejecución de la ley Torricelli de muestra.}}
\end{center}
\end{table}
\end{itemize}


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Alicante2013}  University of Alicante. 2013. {\it Experienceas de F\'{i}sica.  Demostraciones y Pr\'{a}cticas de Laboratorio\/}. {\tt http://www.dfists.ua.es/experiencias\_de\_fisica/index1.html}.  Also available as  {\it Ley de Torricelli Vaciado de un dep\'{o}sito\/} at  {\tt http://www.youtube.com/watch?v=6LOgdOfFAbI}. Accessed 30 March 2013.

\bibitem{FarmerGass1992} Farmer, T. and F. Gass. 1992. Physical Demonstrations in the Calculus Classroom. {\it The College Mathematics Journal\/}.  23(2): 146-148.

\bibitem{KriederLahrDiesel2005} Krieder, D., D. Lahr, and S. Diesel. 2005. {\it Principles of Calculus Modeling:  An Interactive approach\/}. From the Quiz in Unit on Torricelli's Law. {\tt http://www.} \linebreak {\tt math.dartmouth.edu/~klbooksite/2.18/218quiz/218quiz\_p02.htm}.  Accessed 2 April 2013.

\bibitem{Masooraahs2011}  Masooraahs. 2011. Numec project Sem1 2L011 THE Masooraahs!  {\tt http://www.youtube.com/} \linebreak {\tt watch?v=44fZdi7QC8E}. Accessed 31 March 2013. Video length 7:23.

\bibitem{Masooraahs2011a}  Masooraahs. 2011a. Numerical methods extended video.   {\tt http://www.youtube.com/} \linebreak {\tt watch?v=-HsVq3KJIGA}. Accessed 31 March 2013. Video length 9:58.


\end{thebibliography}

\teacher{
\section*{COMENTARIOS}


Ofrecemos comentarios con posibles respuestas para las actividades de este escenario. Las actividades 13-15 se discuten en el cuaderno de Mathematica 1-15-T-Mma-Torricelli-TeacherVersion.nb y en formato pdf. Además, hay otros conjuntos de datos en este cuaderno que son útiles.

Pasamos ahora a las actividades 1-12.

\subsection*{Actividad 1}

\begin{itemize}
\item [(1)] 
Forma un modelo matemático para la altura del agua en la columna ofrecida en los datos de la Tabla~\ref{table:Alicante1} y compáralo con tus datos. ¿Qué tan bueno es tu modelo? Tu fisica? ¿Qué medida usarás?
\end{itemize}

Ofrecemos una oportunidad más completa para responder a este conjunto de datos y video en la Actividad 13 después de haber desarrollado más esfuerzos de modelado, de hecho, después de haber construido una ecuación diferencial de la Ley de Torricelli basada en la Ley de Conservación de Energía. Sin embargo, por ahora esperaríamos que el estudiante intente responder con un modelo de decrecimiento exponencial en el que los estudiantes NO persigan una ecuación diferencial, sino que intenten ajustar algo como $h(t) = A e^{-k t}$ a los datos, con quizás $A = h(0) = 35$.

Usando cualquier enfoque razonable (comando {\\tt FindFit} en Mathematica, la minimización directa de la suma de los cuadrados del error residual para el modelo de función $h(t) = a e^{-b t}$, o la función exponencial en TrendLine en EXCEL, los estudiantes obtendrán algo cercano a esta función: $h(t) = 36.1103 e^{-0.0252994 t}$ y cuando tracen el modelo exponencial sobre sus datos obtendrán algo como lo que se ve en la Figura~\ref{fig:1-15-Torricelli-Activity1-ExpFit}.


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=9cm]{1-15-Torricelli-Activity1-ExpFit.eps}


\parbox{12.1 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-Torricelli-Activity1-ExpFit} Para el problema de modelado de la Actividad 1, ofrecemos una respuesta típica del estudiante para ajustar la función de decrecimiento exponencial, $h(t) = a e^{-b t}$, a los datos del nivel de agua cayendo.}}
\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}

Este modelo no demasiado perfecto lleva a los alumnos en clase a debatir sobre el origen real de la función exponencial, con respecto a una tasa de cambio, a saber, $h'(t) = - k\cdot  h(t)$ - cuanto más tenemos más perdemos por unidad de tiempo. Eso ciertamente parece ser lo que está sucediendo en el modelo de caída de agua, ya que cuando la columna es más grande esperaríamos que más peso aplique más presión al agua en el pequeño orificio en la parte inferior del cilindro a través del cual sale el agua, por lo que cuanto más alta es la columna de agua, más rápido es el flujo a través del pequeño orificio y, por lo tanto suponiendo que el área de la sección transversal del cilindro sea constante, más rápido disminuye el nivel del agua en la columna. Ajá, pero `` Espera un minuto ''. Los estudiantes dicen: `` Podría estar actuando un modelo más general, digamos $h'(t) = - k\cdot  h(t)^r$ donde $r$ es algún exponente y no necesariamente $r = 1$ como en el caso de disminución exponencial ''.

Esto comienza el viaje de modelado real, incluso antes de la introducción de la física de apoyo, y los estudiantes pueden hacer una estimación de dos parámetros ($k$ y $r$) después de resolver la ecuación diferencial $h'(t) = - k\cdot  h(t)^r$. Por lo general, estamos trabajando en Mathematica, por lo que hay poco miedo de resolver y obtener una solución para la ecuación diferencial,

\begin{equation}
\label{eq:genmodel}
h(t) = \left((r-1) \left(k
   t+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}   \, ,
\end{equation}

\noindent y plantear sumas de cuadrados para el error 

\small
\begin{eqnarray*}
SSE(k,r) &=& \left(30-\left((r-1) \left(8
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2+\left(25-\left((
   r-1) \left(16
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2\\
&& +\left(20-\left((
   r-1) \left(25
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2+\left(15-\left((
   r-1) \left(35.5
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2\\
&& +\left(10-\left((
   r-1) \left(48.7
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2+\left(5-\left((r
   -1) \left(66.8
   k+\frac{35^{1-r}}{r-1}\right)\right)^{\
   \frac{1}{1-r}}\right)^2\\
&&  +\left(35-\left(3
   5^{1-r}\right)^{\frac{1}{1-r}}\right)^2
\end{eqnarray*} \normalsize
entre los datos observados y las predicciones del modelo con parámetros desconocidos de $k$ y $r$ en esta suma compleja que se minimizará para encontrar los mejores parámetros ($k$ y $r$). Nos pareció importante mostrar aquí lo compleja que puede ser la expresión de la suma de cuadrados. Por supuesto, con más datos aumenta el largo de la expresión. Usando el comando FindMinimu de Mathematica en $SSE(k,r)$ obtenemos valores de $k = 0.0931652,$ y $r = 0.563884$ y una gráfica de este modelo general sobre los datos aparece en la Figura~\ref{fig:1-15-Torricelli-Activity1-GenFit.eps}. Ahora esto se ve mejor para los estudiantes.



\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=9cm]{1-15-Torricelli-Activity1-GenFit.eps}


\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-Torricelli-Activity1-GenFit.eps} En la Actividad 1 vemos una gráfica de los datos y una gráfica de la solución general (\ref{eq:genmodel}) a la ecuación diferencial $h'(t) = - k \cdot  h(t)^r$ con el mejor parámetros de ajuste, $k = 0.0931652,$ y $r = 0.563884$, a los datos del nivel del agua cayendo.}}
%%\vspace*{-.8 true cm}
\end{figure}

Por cierto, si este modelo, suma de cuadrados y minimizar para el mejor enfoque de estimación de parámetros es nuevo para los estudiantes, entonces este es el momento de dedicar esfuerzo para generar confianza, ya que este será el enfoque principal para la estimación de parámetros en el modelado de ecuaciones diferenciales en nuestro enfoque.

 
\subsection*{Actividad 2}

Para resolver la ecuación diferencial obtenida de la Ley de Conservación de Energía: $h'(t) = \sqrt{2g h(t)}\, , h(0) = h_0$ se pueden separar las variables

$$\frac{1}{h(t)^{1/2}} \frac{dh}{dt} = -\sqrt{2 g} \, , \qquad {\rm etc.} \,$$ o usar algo como {\tt DSolve} en Mathematica para obtener dos posibles soluciones:

$$h(t) = \frac{1}{2} \left(\pm 2 \sqrt{2} \sqrt{g}
   \sqrt{h_0} t+g t^2+2
   h_0\right)\, .$$

\vspace*{-.2 true cm}
La solución,

\vspace*{-.2 true cm}
$$h(t) = \frac{1}{2} \left(- 2 \sqrt{2} \sqrt{g}
   \sqrt{h_0} t+g t^2+2
   h_0\right)\, ,$$
con el signo menos es el correcto, de lo contrario $h(t)$ sigue aumentando, ¡y sabemos que el nivel de agua en nuestra situación disminuye!


\subsection*{Actividad 3}

Esto es realmente lo mismo que la Actividad 2, solo con números y con significado, derivado a partir de la ecuación diferencial para una columna de agua de altura $h(t)$ en el tiempo $t$ con área de sección transversal $A(h(t))$. Observa que el lado negativo del lado derecho de (\ref{eq:Activity3DE}) debido al hecho de que el tanque drena y las constantes no pueden reflejar la naturaleza negativa de la situación; por lo tanto, tenemos que hacer nuestra propia contabilidad y hacer que el lado derecho sea negativo.

Entonces una solución para

\vspace*{-.3 true cm}
\begin{equation}\label{eq:Activity3DE}
\pi (.05)^2 h'(t) = -0.7 \pi (0.01)^2 \sqrt{2\cdot  9.8 h(t)}\, 
\end{equation}
\vspace*{-.7 true cm}

\noindent es 

\vspace*{-.4 true cm}
$$h(t) = 0.0038416  t^2 - 0.0554372 t + 0.2 \, .$$    

Para determinar cuándo se ha vaciado toda el agua, configura $h(t) = 0$ y vemos que el tiempo en que se ha vaciado es $t_f = 7.21538$ s. En la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliActivity3Plot} se muestra una gráfica de la altura del agua en el cilindro durante el intervalo de tiempo $[0, 7.21538]$.

\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=9cm]{1-15-TorricelliActivity3Plot.eps}


\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliActivity3Plot} Graficamos la solución para  (\ref{eq:Activity3DE}).}}
%%\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}

\subsection*{Actividad 4}

Esto es lo mismo que la Actividad 3, solo cambiando $\alpha$ de 0.7 a 0.6, es decir, el porcentaje efectivo del área del pequeño agujero que realmente permite que el agua fluya ha pasado de 70 \% a 60 \%.

Entonces una solución para

\vspace*{-.3 true cm}
\begin{equation}\label{eq:Activity4DE}
\pi (.05)^2 h'(t) = -0.6 \pi (0.01)^2 \sqrt{2\cdot  9.8 h(t)}\, 
\end{equation}
\vspace*{-.3 true cm}
Es 

$$h(t) = 0.0028224 t^2 - 0.0475176  t + 0.2 \, .$$    

Para determinar cuándo se vació toda el agua, configura $h(t) = 0$ y vemos que el tiempo en que se vació es $t_f = 8.41794$ s. En la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliA3A4Plots} se muestra una gráfica de la altura del agua en el cilindro durante el intervalo de tiempo $[0, 8.41794]$. En realidad graficamos los casos donde $\alpha = 0.7$ (línea delgada) y $\alpha = 0.6$ (línea gruesa) en los mismos ejes y no hay sorpresa; se tarda más en vaciar cuando el valor $\alpha$ se reduce.


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliA3A4Plots.eps}

\vspace*{-6.4 true cm}
\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliA3A4Plots} Graficamos la solución para  (\ref{eq:Activity3DE}) [delgado] y (\ref{eq:Activity4DE}) [grueso].}}

\end{figure}


\subsection*{Actividad 5}

Aquí se nos pide que `` \ldots con (3) determina la velocidad de la superficie del agua y graficala durante la duración del drenado. Explica por qué lo que ves es razonable ".

Al diferenciar la fórmula para la altura ($h(t)$) de la columna de agua de la Actividad 3, obtenemos la velocidad:

$$v(t) = h'(t) = 0.0076832 t-0.0554372 \, ,$$ 
cuya gráfica se representa en la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliActivity5Plot}.
\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliActivity5Plot.eps}

\vspace*{-6.8 true cm}
\parbox{13.4 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliActivity5Plot} Graficamos la solución para la velocidad de la altura del agua descrita en (\ref{eq:Activity3DE}). Observamos que la velocidad de la altura es negativa (la altura está disminuyendo) y que la tasa se hace más pequeña a medida que pasa el tiempo, ya que la sección transversal permanece igual, pero inicialmente la altura es más alta, de ahí la presión en el pequeño orificio en la parte inferior del cilindro donde sale el agua es mayor, de ahí la mayor tasa de disminución de la altura de la columna de agua.}}

\end{figure}


\subsection*{Actividad 6}

Aquí se nos pide que `` varíemos el radio de {\it apertura\/}, $r$, y determinemos el tiempo $T(r)$ en el que $h(T(r)) = 0$ para cada r , es decir, el tiempo $T(r)$ para vaciar el tanque en función de $r$. Grafica $T(r)$ y comenta sobre su razonabilidad. Usa $\alpha = 0.7$ y los mismos parámetros que en la discusión anterior ''.

Cuando resolvemos (\ref{eq:Activity3DE}) con $r$ como una variable en lugar de $0.01$ como el radio del pequeño orificio en la parte inferior del cilindro a través del cual sale el agua, obtenemos

$$h(t,r) = 0.2 - 554.372 r^2 t + 384160.0 r^4 t^2\, ,$$
de donde encontramos que 
$h(t,r) = 0$ cuando el tiempo para vaciar el cilindro, en este caso, es 
$$T(r) = 0.000721538/r^2\, .$$

Graficamos el tiempo para vaciar el cilindro en función del radio del orificio pequeño en la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliTimeToEmptySmallHoleRadius}. Notamos que si $r = 0$, es decir, no hay un agujero en el fondo, entonces el tiempo para vaciar el tanque es infinito, lo que tiene sentido.

\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliTimeToEmptySmallHoleRadius.eps}


\parbox{13.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliTimeToEmptySmallHoleRadius} Graficamos el tiempo para vaciar el cilindro en función de $r$ el radio en cm del pequeño orificio en la parte inferior del cilindro a través del cual sale el agua dada la altura del agua descrita en (\ref{eq:Activity3DE} ) No nos sorprende que cuanto mayor sea el radio, más rápido se vacía el tanque.}}

\end{figure}


\subsection*{Actividad 7}

Aquí se nos pregunta: `` Varíen el radio del {\it cilindro\/}, $r$, en (3) y determinen el tiempo $TT(r)$ en el que $h(TT(r)) = 0$ por cada r, es decir, el tiempo $TT(r)$ para vaciar el tanque en función de $r$. Grafica $TT(r)$ y comenta sobre su razonabilidad. Usa $\alpha = 0.7$ y los mismos parámetros que en (3) arriba ".

Cuando resolvemos (\ref{eq:Activity3DE}) con $r$ como variable en lugar de $0.05$ como el radio del cilindro, obtenemos

$$h(t,r) = \frac{2.401 \times 10^{-8}}{r^4}
   t^2-\frac{0.000138593
   }{r^2}t +0.2\, ,$$
de donde encontramos que
$h(t,r) = 0$ cuando el tiempo para vaciar el cilindro, en este caso, es $$TT(r) = 2886.15 r^2-2.91909r^2 = 2883.23 r^2\, .$$


Graficamos el tiempo para vaciar el cilindro en función del radio del cilindro en la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliTimeToEmptyCylinderRadius}. Notamos que si $r = 0$, es decir, no hay columna de agua, entonces el tiempo para vaciar el tanque es 0, lo cual tiene sentido.\\

\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliTimeToEmptyCylinderRadius.eps}


\parbox{13.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliTimeToEmptyCylinderRadius} Graficamos el tiempo para vaciar el cilindro en función de $r$ el radio en cm del cilindro dada la altura del agua descrita en (\ref{eq:Activity3DE}). No nos sorprende que cuanto más grande es el radio del cilindro, más tiempo tarda en vaciarse. }}

\end{figure}


\vspace*{-.7 true cm}

\subsection*{Actividad 8}

Aquí se nos pregunta: `` Supongamos que el tanque de agua tuviera la forma de un cono recto truncado, es decir, cambiamos el radio de la base circular inferior, lo llamamos $s$, afuera (¡o adentro!) del radio original. Nuevamente tenemos un cilindro de agua de altura $h_0 = 0.2$ m, un radio de $0.05$ m en la parte superior del cilindro, una abertura de radio $0.01$ m en la parte inferior del cilindro, pero la base del cilindro ahora es un círculo con radio $s$ m. Usa $\alpha = 0.7$ aquí también. Recopila algunos datos sobre cuánto tiempo lleva vaciar el cilindro para valores de $s$ en la región $s \in [0, 0.2]$, digamos, e intenta crear una función que modele el tiempo que toma drenar el cilindro en función del radio inferior, $s$. NB: Si $s = 0.2$ ya hemos hecho este análisis, ya que este es el caso del área de sección transversal constante. Explica por qué tu función obtenida ofrece una relación razonable. Por cierto, si $s=0$ tenemos un cono invertido ''.


Hemos decidido abordar los problemas de esta actividad en un cuaderno separado: 1-15-T-Mma-Activity8-Comments-Torricelli-TeacherVersion.nb y su formato pdf adjunto.

Sin embargo, describimos el enfoque aquí y dejamos la ejecución y los detalles al cuaderno.


Usando cifras similares, podemos determinar una relación entre $r$, el radio del área de la sección transversal, a una altura dada $h$ por

\begin{equation}
\label{eq:hs}
h=\frac{4 r-4 s}{1\, -20 s}\, ,
\end{equation}
donde $0.05$ es el radio original de la sección transversal circular de la superficie del agua en la parte superior, $h(0) = 0.2$ es la altura del agua al inicio, $r$ y $h$ son el radio típico y altura de una sección transversal circular del tronco en cualquier momento dado.

Ahora despejando (\ref{eq:hs}) tenemos que a la altura $h$ de la superficie del agua el radio es $r = h (0.25 -5  s)+  s$ y el área de la sección transversal de la superficie del agua a la altura $h$ es $$A(h) = \pi (h (0.25 -5  s))^2\, . $$

Esto significa que la ecuación diferencial para la Ley de Torricelli

\begin{equation}\label{eq:TorrLaw}
A(h(t)) h'(t) = \alpha a \sqrt{2 \cdot  g \cdot  h(t)} \, ,
\end{equation}
en nuestra situación es
\begin{equation}\label{eq:frustum}
 \pi (h(t) (0.25 -5  s))^2 h'(t) = 0.7 (\pi (0.01)^2)  \sqrt{2 \cdot  9.8 \cdot  h(t)} \, ,
\end{equation}

Al intentar resolver, en forma cerrada, (usando {\tt DSolve} en Mathematica) para $h(t)$, la solución a la ecuación diferencial (\ref{eq:frustum}) tiene 10 ramas. Después de algunas investigaciones, se determina la rama correcta para nuestro modelo: ¡es grande y solo la producimos en el cuaderno de Mathematica! Lo llamamos $hs6(t,s)$ ya que era la sexta rama que cumple con los criterios del modelo de números reales positivos que hacen las cosas correctas en nuestra situación de modelado.

Cuando intentamos resolver $hs6(t,s) = 0$ para $t$ para ver si podíamos determinar el tiempo que lleva vaciar el tanque con radio $s$ en la base nos encontramos con que Mathematica nos presentó el conjunto vacío $\{\}$. Sin embargo, si buscamos soluciones específicas para $t$ a $hs6(t,s) = 0$ donde $s$ se ejecutó durante el intervalo $[0,0.2]$ en $0.0005$, obtuvimos el gráfico de la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliTimeToDrainActivity8}. Esta gráfica es muy tranquilizadora porque nos dice que a medida que el radio base, $s$, de nuestro tanque en forma de tronco aumenta, aumenta el tiempo para vaciar el tanque. Esto tiene sentido, ya que a medida que $s$ aumenta, aumenta la cantidad de agua en el tanque y, por lo tanto, aumenta el tiempo que lleva vaciarlo.

\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliTimeToDrainActivity8.eps}


\parbox{13.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliTimeToDrainActivity8} Una gráfica resumida de los datos sobre cuánto tiempo tarda en drenar el tanque en forma de tronco si la altura inicial es $h_0 = 0.2.$ m con un radio superficial de $0.05$ m en la parte superior del agua en función de $s$, el radio de la base del tronco en m.}}

\end{figure}

\subsection*{Actividad 9}

Se ofrece un análisis completo de estos datos en el cuaderno de Mathematica 1-15-T-Mma-Torricelli-TeacherVersion.nb y en formato pdf. Está listado como Primera Fuente: Datos para la Ley de Torricelli.

\subsection*{Actividad 10}

Se ofrece un análisis completo de estos datos en el cuaderno de Mathematica 1-15-T-Mma-Torricelli-TeacherVersion.nb y en formato pdf. Está listado como Segunda Fuente: Datos para la Ley de Torricelli.

\subsection*{Actividad 11}

Nos hacen las siguientes preguntas:



Supongamos que tenemos un tanque cilíndrico con el área del pequeño agujero en la parte inferior siendo $a$ y el área de la sección transversal del cilindro, $A$.

\begin{itemize}
\item [a)] 
¿Cuánto tiempo lleva vaciar el tanque?

\end{itemize}

Para cada uno de los siguientes cambios físicos en el tanque, describe el efecto sobre el tiempo que lleva vaciar el tanque.

\begin{itemize}
\item [b)] Duplica el área, $a$, del pequeño orificio en la parte inferior del cilindro.
\item [c)] Cambia $g$ considerando que el tanque esté en la Luna. Allí la gravedad es una sexta parte de la de la Tierra.
\end{itemize}

Para (a) necesitamos resolver la ecuación diferencial de la Ley de Torricelli general (\ref{eq:GenTorr})

\begin{equation}\label{eq:GenTorr}
A h'(t) = \alpha a \sqrt{2 g h(t)}
\,. 
\end{equation}

La solución a (\ref{eq:GenTorr}) es (\ref{eq:GenTorrSol}).

\begin{equation}\label{eq:GenTorrSol}
h(t) = \frac{a^2 \alpha ^2 g t^2-2
  a \alpha  A \sqrt{2 g h_0}
   \, t+2 A^2
   h_0}{2 A^2}\, .
\end{equation}
 
Por lo tanto, estableciendo $h(t)$ en (\ref{eq:GenTorrSol}) igual a 0 y despejando $t$ tenemos

$$ t_e = \frac{A
   \sqrt{2 h_0}}{a \alpha 
   \sqrt{g}}\, ,$$
como el tiempo que tarda el tanque en vaciarse. Antes de abandonar esta fórmula, examínala para ver cómo funcionan las variables para determinar el momento en que se vacía la columna de agua. Si tuviéramos que aumentar $A$, el área de la sección transversal del cilindro, tendríamos más agua y, por lo tanto, llevaría más tiempo vaciar el tanque. Vemos que $A$ está en el numerador de $t_e$, por lo que tiene sentido. Mientras que si aumentara $a$, el área del pequeño orificio en el fondo del tanque a través del cual sale el agua, el valor de $t_e$ bajaría y esto tiene sentido porque el orificio de salida es más grande, fluye más agua y $t_e$ se volvería más pequeño.

\vspace*{.2 true cm}

Para (b) primero encontramos el tiempo que lleva vaciar el cilindro con un valor de sección transversal $a$ para el orificio en la parte inferior del cilindro y luego con el valor de sección transversal $2a$ para el orificio en la parte inferior del cilindro

\begin{equation}\label{eq:a}
 A h'(t) = \alpha a \sqrt{2 g h(t)}\\
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:aDouble}
 A h'(t) = \alpha (2a) \sqrt{2 g h(t)}
\end{equation}

El tiempo que lleva vaciar el cilindro en el caso (\ref{eq:a}) es 

$$t_{f(a)} = \frac{\sqrt{2} A
   \sqrt{h_0}}{a \alpha 
   \sqrt{g}}\, ,$$
mientras que el tiempo que lleva vaciar el cilindro en el caso (\ref{eq:aDouble}) es
$$t_{f(2a)} = \frac{ A
   \sqrt{h_0}}{\sqrt{2}a \alpha 
   \sqrt{g}}\, ,$$
o exactamente la mitad del caso donde el agujero en la parte inferior del cilindro del área $a$. Entonces, duplica el área del pequeño orificio de salida y se reduce a la mitad el tiempo para vaciar el tanque.

\vspace*{.2 true cm}

Para (c), donde estamos en la Luna y $g$ es una sexta parte de su valor en la Tierra, el tiempo que tarda el cilindro en vaciarse es $\sqrt{\frac{3}{2}} = 1.22474$ veces más grande:

$$t_f = \frac{\sqrt{3} A
   \sqrt{h_0}}{a \alpha 
   \sqrt{g}} \, .$$

Esto tiene sentido conceptual, ya que en el entorno de la Luna hay menos presión sobre la columna de agua y, por lo tanto, tardará más en vaciarse.

\subsection*{
Actividad 12 - Construyendo un Reloj de Agua}
\begin{itemize}
\item [(12)] Diseña un cilindro de área transversal $A(h)$ a la altura $h$ para que el agua caiga a una velocidad constante. De esta manera, podríamos mostrar intervalos iguales, digamos un cuarto de hora, como distancias verticales iguales marcando el tiempo a medida que pasa. Para modelar una tasa constante de caída para la altura, $h(t)$, de agua, necesitamos establecer $h'(t) = c$ para alguna constante que deseemos, por ejemplo, 1 centímetro por 15 minutos. Este cilindro-reloj podría marcarse a alturas verticales de 1 cm con el conocimiento de que por cada centímetro que el agua cae, han pasado 15 minutos.

Entonces, ¿qué forma, es decir, cuál es el área de la sección transversal a la altura $h$ ($A(h)$) que realmente nos dará una altura en constante disminución en nuestro nivel de agua?

Cuando termines, puede ir directamente a tu tienda de impresoras 3D y hacer tu propio reloj de agua.
\end{itemize}

Así que comencemos con (\ref{eq:changevol}) y  despejemos para $h'(t)$. Igualando $h'(t) = c$ por alguna constante en  (\ref{eq:changevol}) da (\ref{eq:constant}) 

\begin{equation}\label{eq:constant}
c= h'(t)= \alpha\, a \frac{\sqrt{2 g h(t)}}{A(h(t))}\, ,\quad h(0) = h_0\, .
\end{equation}

\noindent Ahora en (\ref{eq:constant}) podemos despejar para $A(h(t)$:

\begin{equation}\label{eq:solveA}
A(h(t))= \alpha\, a \frac{\sqrt{2 g h(t)}}{c}= {\alpha\, a \sqrt{2g}}{c} \sqrt{h(t)} = K \sqrt{h(t)}\, ,\quad h(0) = h_0\, .
\end{equation}

Entonces vemos que para crear un cilindro de sección transversal $A(h)$ a una altura $h$ para que el agua caiga a una velocidad constante, debemos hacer que el área de la sección transversal sea proporcional a la raíz cuadrada de $h(t)$. De hecho, si deseamos hacer que el área de la sección transversal sea circular, es decir, $A(h(t)) = \pi r^2$, entonces podemos especificar nuestro radio $r$ en términos de nuestra altura:

\begin{equation}\label{eq:radius}
r = \sqrt{\frac{\alpha\, a \sqrt{2 g h}}{\pi c}} \, ,
\end{equation}\noindent donde $r$ es el radio de un reloj de sección transversal a una altura $h$; $a$ es el área de la sección transversal del pequeño agujero cerca de la parte inferior de nuestro reloj; $\alpha$ es el coeficiente de descarga o contracción, es decir, el porcentaje efectivo del área del pequeño agujero que realmente permite que salga el agua; $g$ es la aceleración debida a la gravedad - diferentes relojes para diferentes altitudes (!); y $c$ es la tasa real en cm/(unidad de tiempo) a la que queremos que baje nuestro nivel de agua.

Por lo tanto, vemos que una simple relación de poder entre $h$ y $A(h)$ es todo lo que se necesita para diseñar un reloj cuya agua caiga a una velocidad constante. Así que ve directo a tu tienda de impresoras 3D y has tu propio reloj de agua.


\section*{Fuentes de video para la recolección de datos}

Aquí discutimos las Actividades (13-14), el uso de fuentes de video para modelar con Regla de la Potencia y luego con la Ley de Torricelli.

Resumimos nuestros análisis de datos. Usamos dos videos de columnas de agua cayendo, sin información respecto al radio de la abertura en la parte inferior del cilindro. Estos eran de YouTube y los citamos correctamente a continuación. También construimos un aparato experimental para recopilar datos utilizando un reloj digital gratuito en una computadora ({\tt www.on-line-stopwatch.com}) que mide y muestra muy bien, en un tamaño de fuente grande y legible, en tiempo real a la milésima de segundo; un recipiente de plástico transparente con agua con gas; un recipiente de recolección para el agua que sale; y un iPad para producir videos HD excepcionalmente claros de los experimentos. Lo hicimos para agujeros pequeños en la parte inferior del cilindro de diámetros 13/16'', 9/64'', 11/64'' y 7/64''. En el último caso, utilizamos dos conjuntos de datos: muestreo de toda la ejecución y luego muestreo de una sección más pequeña de la ejecución. Colocamos los siguientes videos para uso de los estudiantes en la sección Estudiantes en SIMIODE para este escenario 1-15-Torricelli en YouTube. 



\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 1:



Nombre: Ley de Torricelli Vaciado de un dep\'{o}sito 

URL:  {\tt http://www.youtube.com/watch?v=6LOgdOfFAbI} 



\vspace*{.3 true cm}

\noindent Fuente 2:



Nombre: Numec project Sem1 2011 THE Massooraahs! 

URL: {\tt http://www.youtube.com/watch?v=44fZdi7QC8E}   




\vspace*{.3 true cm}
Las fuentes 3 a 6 están disponibles en YouTube.


\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 3:



Nombre: 13Over64Inch Small Hole 

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=gsNdsuQ1ZCo}  

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=SCNqxFe3eIs}


También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2085}.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 4:



Nombre: 9Over64 Inch Small Hole  

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=gsNdsuQ1ZCo}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=6cUuNUjlaPI}


También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2083}.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 5:



Nombre: 11Over64Inch Small Hole  

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=76diQ1eW8i4}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=NBr4DOj4OTE}

También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2087}.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 6:



Nombre: 7Over64 Inch Small Hole 

URL: {\tt https://www.youtube.com/watch?v=k7TSAqRfHgg}

y {\tt https://www.youtube.com/watch?v=xDyDSPydN\_E}

También disponible en {\tt https://www.simiode.org/resources/488/video?resid=2084 }.
  
\subsection*{Informe sobre resultados de análisis de datos}

Aquí presentamos un resumen de los resultados de nuestros análisis. Realizamos análisis completos de todos los conjuntos de datos, incluida una versión abreviada del sexto video, es decir, muestreamos menos de cada uno. Todos estos videos están disponibles en el cuaderno de Mathematica 1-15-T-Mma-Torricelli-TeacherVersion.nb y en formato pdf.

En cada caso, consideramos dos enfoques para construir un modelo de ecuación diferencial para $h(t)$, la altura del agua en cm en el tiempo $t$ en segundos.

\begin{enumerate}
\item Ley General de las Potencias
$$ h'(t) = - k h(t)^r\, , \quad h(0) = y_0\, , $$
donde $k$ es una tasa constante con unidades apropiadas
\item Ley de Torricelli
$$A\, h'(t) = a\, \alpha\, \sqrt{2 g h(t)} \, , \quad h(0) = y_0\, ,$$
donde $A$ es el área de la sección transversal de la columna de agua: $A$ era constante y la forma era circular en todas las fuentes; $g$ era la constante de gravitación, se presume que es $9.80 m/s^2$. En las fuentes 3-6 $a$ es el área de la sección transversal del pequeño agujero en la parte inferior de la columna de agua a través de la cual sale el agua y $a = \pi r^2$ donde $r$ es el radio del agujero en la parte inferior del cilindro de agua que figura en el título del video, por ejemplo, 13/16'', 9/64'', 11/64'' y 7/64''; $\alpha$ es el coeficiente de descarga o contracción, es decir, el porcentaje efectivo de los pequeños orificios que realmente permite que el agua fluya. En
Las fuentes 1 y 2, donde ahora se conocía la forma del pequeño agujero en la parte inferior del cilindro, supusimos que $a\, \alpha = k$, una constante.
\end{enumerate}

Ofrecemos la suma de los cuadrados del error residual ($SSE$) como una medida de cuán bueno es nuestro modelo. en cada caso damos los mejores parámetros y el resultante $SSE$.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 1:

Regla de la Potencia: $SSE = 0.130256$, $k = 0.0931652$, $r = 0.56388$.

Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE = 0.365508$, $k = 7.25116$.


\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 2:

Regla de la Potencia: $SSE = 0.206507$, $k = 0.362918$, $r = 0.573579$

Ley de Torricelli (presume $r = .5$)  $SSE = 0.302832$, $k = 27.033991$.

\vspace*{.2 true cm}

Observamos en las Fuentes 1 y 2 que $SSE$ es más alto para el modelo de Torricelli que para el modelo de Regla de la Potencia. En la fuente 1 es casi un 300\% más alto, mientras que en la Fuente 2 es casi un 50\% más alto. Los valores de $k$ no son comparables, por lo que no nos preocupa su disparidad. En la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliSource2} notamos que ambos modelos son bastante buenos; sin embargo, el modelo de Regla de Potencia (línea punteada) parece funcionar mejor, especialmente cerca del final de la carrera.



\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 3: (pequeño agujero de radio 13/64'')

Regla de la Potencia: $SSE = 0.00327907$, $k = 0.109294$, $r = 0.563275$. 

Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE = 0.00456251$, $\alpha =k  = 0.716054$. 

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 4: (pequeño agujero de radio 9/64'')

Regla de la Potencia: $SSE = 0.020492$, $k = 0.053235$, $r = 0.501133$. 

Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE = 0.0205103$,  $\alpha = k = 0.656871$.
 
\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 5: (pequeño agujero de radio 11/64'')

Regla de la Potencia: $SSE = 0.0508712$, $k = 0.0781168$, $r = 0.503808$.

Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE = 0.0513088$,  $\alpha = k = 0.648622$.

\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 6: (pequeño agujero de radio 7/64'')

Regla de la Potencia: $SSE = 0.0151031$, $k  = 0.0237784$, $r = 0.593436$.
 
Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE = 0.180729$, $\alpha = k = 0.583483$.


\vspace*{.3 true cm}
\noindent Fuente 6: (pequeño agujero de radio 7/64'' - utilizando solo 15 puntos de datos)

Regla de la Potencia: $SSE = 0.00304714$, $k  =  0.026167$, $r = 0.549328$.  

Ley de Torricelli (presume $r = 0.5$)  $SSE =  0.00696854$, $\alpha = k = 0.593613.$.

\vspace*{.3 true cm}


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliSource2.eps}


\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliSource2} Gráfica de los resultados de los análisis de datos de la Fuente 2. }}
\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}





Notamos que en todas las Fuentes 3 - 7 de nuestra propia experimentación, la Regla de la Potencia tiene un $SSE$ más bajo (ligeramente). También notamos que los valores de $r$ en el enfoque más amplio de la Regla de la Potencia están cerca de lo que suponemos en la Ley de Torricelli, a saber, $r = 0.5$. El hecho de que nuestra Regla de la Potencia no converja del todo a $r = 0.5$ (el valor desarrollado y presumido en la Ley de Torricelli), pero se mantiene cerca de $r = 0.5$, lo atribuimos al grado adicional de libertad que introducimos en el Modelo de Regla de las Potencias en el que $r$ puede variar para optimizar, es decir, minimizar el $SSE$. Por lo tanto, no esperaríamos que el óptimo ocurra exactamente en $r = 0.5$ ya que las lecturas no son perfectas, es decir, ¡hay un error en las lecturas! Además, las gráficas para las Fuentes 3-6 (mostramos las gráficas finales para la Fuente 5 en la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliSource5} como ejemplo), muestran que ambos modelos predicen bastante bien.


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=8cm]{1-15-TorricelliSource5.eps}


\parbox{11.7 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliSource5} Gráfica de los resultados de los análisis de datos de la Fuente 5. }}
\vspace*{-.3 true cm}
\end{figure}



Además, en la literatura, el valor de $\alpha$, el coeficiente de descarga o contracción, a menudo se mide y se presume en situaciones de aproximadamente $0.7$ o 70\% del caudal máximo obtenido. Por lo tanto, con nuestros valores de $\alpha = 0.716054,\, 0.656871,\, 0.648622,\, 0.583483$ and $0.593613$ estamos en el vecindario correcto con nuestros análisis en estos casos.

\section*{Una Visión Interesante de la Ley de Torricelli - Lineal vs. Torricelli}

Esta es una discusión y una reseña sobre la Actividad 15 - Observación inicial y final - Te metes con el Sr. En Medio. En un artículo muy bueno \cite{FarmerGass1992}, los autores plantean el siguiente problema:

\begin{quote}
Se perfora un pequeño orificio en el costado de un recipiente cilíndrico y la altura del nivel del agua (por encima del orificio) va de 10 cm a 3 cm en 68 segundos. Estime la altura en tiempos intermedios.
\cite[p.~147]{FarmerGass1992}
\end{quote}

Ofrecen dos modelos a sus alumnos (1) un modelo lineal $h'(t) = k$, $h(0) = 10$, $h(68) = 3$, y (2) un modelo basado en la Ley de Torricelli, $h'(t) = k \sqrt{h}$, $h(0) = 10$, $h(68) = 3$ y les piden que usen cada uno para predecir la altura del agua en tiempos intermedios. La siguiente clase traen el mismo aparato que usaron para recopilar sus datos originales, es decir, datos de inicio y final, y hacen que la clase (con roles de experimentadores asignados, es decir, reloj digital, registrador, observador de nivel de agua descendente) realice un experimento ``cantando'' la altura del agua cuando $ t = 0,10, 20,30, 40,50,60,70$ segundos. Luego comparan las observaciones con los dos modelos. ¡Voil{\`a}!

Aquí proporcionamos una actividad comparable usando uno de los videos, digamos con una altura del agua de 12.5 cm por encima del pequeño orificio de salida en el tiempo del reloj de 1 minuto, 40.419 segundos, o 1: 40.419 minutos, es decir, $h(100.419) = 12.5$ y luego con una observación final de la altura del agua a 2 cm por encima del pequeño orificio de salida a la hora del reloj 2 minutos, 34.286 segundos o 2: 34.216 minutos, es decir $h(154.286) = 2.0$.

Entonces, una versión para estudiantes de SIMIODE para el problema que se plantea en \cite[p.~147]{FarmerGass1992} es la Actividad (1) titulada Principio y fin de la observación: te metes con el Sr. En el Medio (parafraseando una línea de una canción de Johnny Mercer {\it Acentúa lo positivo\/}.
\begin{quote}
Se perfora un pequeño orificio de radio $s = 0.138906$ cm en el costado de un recipiente cilíndrico circular recto de radio $r = 4.16986$ cm y la altura del nivel del agua (por encima del orificio) va desde 12.5 cm en un cronómetro tiempo de 1:40.419 min a 3 cm en un tiempo de cronómetro de 2:34.116 min. Usa dos modelos diferentes para estimar la altura en tiempos intermedios. Estos modelos son (1) modelo lineal: $h'(t) = - k h(t)$, $h(0) =  12.5$ con $h(143.286) = 2.0$ y (2) Ley de Torricelli: $A h'(t) = -\alpha \cdot  a\cdot  \sqrt{2\cdot  g\cdot  h(t)}$, $h(0) =  12.5$ con $h(143.286) = 2.0$. Aquí $A$ es el área de la sección transversal del cilindro y $a$ es el área del orificio para el drenado, mientras que $\alpha$ es el coeficiente de descarga o contracción.

Después de completar tu análisis, ve al video, titulado 11Over64 Inch Small Hole de este escenario: 1-15-Torricelli en YouTube, y compara tus observaciones del video con las de cada uno de tus modelos. ¿Qué modelo es el mejor? ¿Por qué?

\end{quote}
 

 Les pedimos a los estudiantes que completen la tabla a continuación con $t = 0$ en el momento 154.286 segundos donde el agua está en el nivel 2 cm por encima del orificio de salida y $ t = 154.286 - 100.419 = 53.867$ siendo nuestro punto de parada o longitud de nuestro corrida donde el agua está al nivel 2 cm por encima del orificio de salida.



En el cuaderno de Mathematica 1-15-T-Mma-Torricelli-TeacherVersion.nb ofrecemos un análisis completo. Aquí están los resultados:

\vspace*{.2 true cm} \noindent 
Modelo lineal (mejor ajuste en términos de suma mínima de cuadrados de error residual $SSEL$):

$yL(t) = 12.5 - 0.213651 t$, $SSEL = 3.01273$.

\vspace*{.2 true cm} \noindent
Modelo de Torricelli (mejor ajuste en términos de suma mínima de cuadrados de error residual $SSET$):

$yT(t) = 0.00154308 t^2-0.277766 t+12.5$, $SSET = 0.00754184$



Ofrecemos la tabla de información de datos sin completar primero.
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
Tiempo del Reloj & Tiempo Relativo & Lineal & Torricelli & Observado\\
$t$ (min) & $t$ (s)  & $h$ (cm)& $h$ (cm) & $h$ (cm)\\  \hline 
1:40.419 = 100.419 & 0&12.5 & 12.5 & 12.5 \\ \hline
1:45.598 = 105.598 &5.179 & \hspace*{2 true cm} & \hspace*{2 true cm}&  \hspace*{2 true cm} \\ \hline
1:47.568 = 107.788 & 7.369& & & \\  \hline
1:49.623 = 109.523 & 9.104& & &  \\ \hline 
1:50.985 = 110.985 & 10.566 & & & \\  \hline 
1:56.388 = 116,388 & 15.969& & & \\  \hline 
2:02.057 = 122.057 & 21.638& & & \\  \hline 
2:08.032 = 128.032 & 27.613& & &  \\ \hline
2:16.386 = 136.386 & 35.967& & &  \\ \hline
2:25.568 = 145.568 & 45.149& & &  \\ \hline
2:34.116 = 154.286 & 53.867& & &2.0  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}




\vspace*{.2 true cm} \noindent La tabla~\ref{table:LinearVsTorricelliData} es el conjunto de datos rellenado que utiliza los resultados de los modelos lineal y de Torricelli; compáralo con los datos reales observados.



Finalmente, en la Figura~\ref{fig:1-15-TorricelliVsLinearPlot} comparamos modelos lineales y de Torricelli con los datos reales, los datos que los estudiantes obtendrían del video. ¡Esta es una evidencia muy convincente de que la Ley de Torricelli realmente modela el nivel del agua que cae en un cilindro!


\section*{CIERRE}

Hemos ofrecido muchas actividades aquí, más de lo que los estudiantes pueden o deberían hacer en las tareas de rutina. Sin embargo, este material puede ser muestreado y asignado en parte y también utilizado como proyectos de cursos. La Ley y el modelado de Torricelli, utilizando datos, es un área rica para un curso de ecuaciones diferenciales y creemos que el instructor encontrará en estas páginas material listo para que los estudiantes estudien.
 
\vspace*{.2 true cm}
\begin{table}[]
\small
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
Tiempo del Reloj & Tiempo Relativo & Lineal & Torricelli & Observado\\
$t$ (min) & $t$ (s)  & $h$ (cm)& $h$ (cm) & $h$ (cm)\\  \hline 
1:40.419 = 100.419 & 0&12.5 & 12.5 & 12.5 \\ \hline
1:45.598 = 105.598 &5.179 & 11.3935& 11.1028&  11.1 \\ \hline
1:47.568 = 107.788 & 7.369& 10.9256& 10.5369& 10.5\\  \hline
1:49.623 = 109.523 & 9.104& 10.5549& 10.0991& 10.1 \\ \hline 
1:50.985 = 110.985 & 10.566 & 10.2426& 9.7374& 9.8\\  \hline 
1:56.388 = 116,388 & 15.969& 9.08821& 8.45786& 8.5\\  \hline 
2:02.057 = 122.057 & 21.638& 7.87702& 7.21218& 7.2\\  \hline 
2:08.032 = 128.032 & 27.613&6.60046 & 6.00662& 6.0 \\ \hline
2:16.386 = 136.386 & 35.967& 4.81562& 4.50576& 4.5 \\ \hline
2:25.568 = 145.568 & 45.149& 2.85388& 3.10461& 3.1 \\ \hline
2:34.116 = 154.286 &53.867& 0.991273& 2.01507& 2.0 \\ \hline
\end{tabular}


\parbox{13.4 true cm}{\caption{\label{table:LinearVsTorricelliData} Cálculos con el modelo lineal y el modelo de Torricelli en comparación con los datos observados. }}
\end{center}

\vspace*{-.6 true cm}
\end{table}


\begin{figure}[]
\centering

\vspace*{-.1 true cm}
\includegraphics[width=9cm]{1-15-TorricelliVsLinearPlot.eps}


\parbox{12.9 true cm}{\caption{\label{fig:1-15-TorricelliVsLinearPlot} Gráfica de los datos observados, el modelo lineal (línea continua) y el modelo de Torricelli (línea punteada). ¡Vemos la gráfica lineal como muy inadecuada y la gráfica de Torricelli como correcta!}}

\end{figure}


\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Alicante2013}  University of Alicante. 2013. {\it Experienceas de F\'{i}sica.  Demostraciones y Pr\'{a}cticas de Laboratorio\/}. {\tt http://www.dfists.ua.es/experiencias\_de\_fisica/index1.html}.  Also available as  {\it Ley de Torricelli Vaciado de un dep\'{o}sito\/} at  {\tt http://www.youtube.com/watch?v=6LOgdOfFAbI}. Accessed 30 March 2013.

\bibitem{FarmerGass1992} Farmer, T. and F. Gass. 1992. Physical Demonstrations in the Calculus Classroom. {\it The College Mathematics Journal\/}.  23(2): 146-148.

\bibitem{KriederLahrDiesel2005} Krieder, D., D. Lahr, and S. Diesel. 2005. {\it Principles of Calculus Modeling:  An Interactive approach\/}. From the Quiz in Unit on Torricelli's Law. {\tt http://www.math.} \linebreak{\tt dartmouth.edu/~klbooksite/2.18/218quiz/218quiz\_p02.htm}.  Accessed 2 April 2013.

\bibitem{Masooraahs2011}  Masooraahs. 2011. Numec project Sem1 2011 THE Masooraahs!  {\tt http://www.youtube} \linebreak{\tt .com/watch?v=44fZdi7QC8E}. Accessed 31 March 2013. Video length 7:23.

\bibitem{Masooraahs2011a}  Masooraahs. 2011a. Numerical methods extended video.   {\tt http://www.youtube.com/} \linebreak{\tt watch?v=-HsVq3KJIGA}. Accessed 31 March 2013. Video length 9:58.
\end{thebibliography}
}
\end{document}
