Description
Chern, I-Liang. 2016. MATHEMATICAL MODELING AND ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. Department of Mathematics, National Taiwan University. Notes. 223 pp. Available at http://www.math.ntu.edu.tw/~chern/notes/ode2015.pdf . Accessed 9 March 2023.
Table of Contents:
1 First-Order Single Differential Equations 1
1.1 What is mathematical modeling? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relaxation and Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Modeling population dynamics of single species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Techniques to solve single first-order equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Linear first-order equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Other special classes that are solvable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Vector Fields and Family of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 Family of curves and Orthogonal trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 *Envelop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.4 *An example from thermodynamics – existence of entropy . . . . . . . . . 31
1.6 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 *Numerical Methods: First Order Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1 Euler method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.2 First-order difference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8 Historical Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Second Order Linear Equations 41
2.1 Models for linear oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 The spring-mass system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Electric circuit system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Methods to solve homogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Homogeneous equations (complex case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Homogeneous equation (real case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Methods to solve Inhomogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Method of underdetermined coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Method of Variation of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Linear oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 Harmonic oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2 Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.3 Forcing and Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 2 [1] 2 linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.1 Independence and Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.2 Finding the fundamental solutions and Phase Portrait . . . . . . . . . . . . 60
3 Nonlinear systems in two dimensions 71
3.1 Three kinds of physical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 Lotka-Volterra system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2 Conservative mechanical system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.3 Dissipative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Equilibria and linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Hyperbolic equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 The equilibria in the competition model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Phase plane analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Periodic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5.1 Predator-Prey system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5.2 van der Pol oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Heteroclinic and Homoclinic and orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Linear Systems with Constant Coefficients 93
4.1 Initial value problems for n [1] n linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Physical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Coupled spring-mass systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Coupled Circuit Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Linearity and solution space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Decouping the systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Linear systems in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.2 Rotation in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.3 Decoupling the spring-mass systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 Jordan canonical form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.1 Jordan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.2 Outline of Spectral Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Fundamental Matrices and exp(tA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.1 Fundamental matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.2 Computing exp(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.3 Linear Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 Non-homogeneous Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Methods of Laplace Transforms 121
5.1 Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.2 Properties of Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Laplace transform for differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.1 General linear equations with constant coefficients . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2 Laplace transform applied to differential equations . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.3 Generalized functions and Delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.4 Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 Calculus of Variations 135
6.1 A short story about Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Problems from Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Euler-Lagrange Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 Problems from Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5 Method of Lagrange Multiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.6.1 The hanging rope problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.6.2 Isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6.3 The Brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.6.4 Phase field model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 Examples of Nonlinear Systems 155
7.1 Hamiltonian systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2 Trajectories on Phase Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.3 Equilibria of a Hamiltonian system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2 Gradient Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3 Simple pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3.1 global structure of phase plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3.2 Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4 Cycloidal Pendulum – Tautochrone Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.1 The Tautochrone problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.2 Construction of a cycloidal pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.5 The orbits of planets and stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5.1 Centrally directed force and conservation of angular momentum . . . . . . 173
7.6 General Hamiltonian flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.6.1 Noether Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8 General Theory for ODE in Rn 183
8.1 Well-postness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.1 Local existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.3 Continuous dependence on initial data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.4 A priori estimate and global existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2 Supplementary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2.1 Uniform continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2.2 C(I) is a normed linear space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.3 C(I) is a complete space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9 Stability Analysis 197
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2 Damping systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3 Local stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4 Lyapunov function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.5 Poincar´e-Bendixson Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 Numerical Methods for Ordinary Differential Equations 211
10.1 Design of numerical schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.2 Truncation error and orders of accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.3 High-order schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
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